Analyse de l'énoncé : Les fonctions au service de la musique

Cet exercice du Brevet 2014 (Asie) est un excellent exemple d'application concrète des notions de Fonctions. Il établit un lien entre la tension $T$ exercée sur une corde de guitare (l'antécédent) et la fréquence $f$ du son produit (l'image). La relation est donnée par la fonction $f(T) = 20\sqrt{T}$. La maîtrise de la lecture graphique et du calcul d'image est ici primordiale.

Points clés et Méthodologie de Résolution

L'exercice teste deux compétences fondamentales sur les fonctions : la lecture graphique et le calcul algébrique (évaluation de la fonction).

1. Détermination graphique de la tension (Antécédent)

La première question demande la tension $T$ nécessaire pour obtenir un « La3 ». En consultant le tableau des fréquences, on trouve que la note La3 correspond à $f = 440$ Hz.

• Méthode : Nous cherchons l'antécédent $T$ de l'image 440.
• Localisez 440 sur l'axe vertical (axe des fréquences $f$).
• Tracez une ligne horizontale jusqu'à croiser la courbe représentative de la fonction.
• À partir de ce point d'intersection, descendez verticalement jusqu'à l'axe horizontal (axe des tensions $T$).

En observant le graphique fourni, l'abscisse correspondante est proche de 484 N (ou l'intersection entre 400 et 500 N). Vérification par le calcul (non demandée, mais bonne pratique) : Pour $T=484$ N, $f(484) = 20\sqrt{484} = 20 \times 22 = 440$ Hz. La lecture graphique doit donc pointer vers 484 N environ.

2. Détermination de la note (Calcul d'Image)

La deuxième partie nous donne la tension ($T=220$ N) et nous demande de calculer la fréquence $f$ pour identifier la note correspondante.

• Calcul : $f(220) = 20\sqrt{220}$.
• À l'aide de la calculatrice, nous obtenons $\sqrt{220} \approx 14.83$.
• Donc $f(220) \approx 20 \times 14.83 \approx 296.6$ Hz.

En comparant cette valeur au tableau, 296,6 Hz est très proche de 297 Hz, qui correspond à la note Ré3.

3. Fréquence maximale (Application de la limite)

La corde casse si $T > 900$ N. Nous cherchons la fréquence maximale émise par cette corde, soit $f(900)$.

• Calcul : $f(900) = 20\sqrt{900}$.
• Puisque $\sqrt{900} = 30$.
• $f(900) = 20 \times 30 = 600$ Hz.

La fréquence maximale que peut émettre cette corde avant de casser est de 600 Hz.