Analyse de l'énoncé et Notions Clés

Cet exercice du Brevet 2014, issu de la session Amérique du Sud, est un excellent exemple de la manière dont les mathématiques, et notamment le Tableur, permettent de modéliser des situations concrètes impliquant des Durées et des Fonctions. Le problème, bien qu'il puisse être résolu par un système d'équations, est ici abordé de manière progressive via l'outil informatique, une compétence clé évaluée au DNB.

Points clés de l'exercice

• Conversion des Durées : La première étape cruciale est de convertir les temps donnés en heures et minutes vers une unité unique (les minutes) afin de faciliter les calculs. Rappel : 1 heure = 60 minutes.
• Modélisation Algébrique : En notant $x$ la durée de la boucle courte, la durée de la boucle longue est $L = x + 15$. Les temps de parcours sont ensuite modélisés par des fonctions linéaires de $x$.
• Utilisation du Tableur : Le tableur permet de tester rapidement différentes valeurs possibles pour $x$ (la durée de la boucle courte) et de calculer les temps totaux correspondants, identifiant ainsi la solution par vérification.

Détail des étapes de résolution

1. Conversion des temps (Question 1)

Le temps réalisé en 2012 (8 h 40 min) correspond à : $(8 \times 60) + 40 = 480 + 40 = 520$ minutes.

Le temps réalisé en 2013 (8 h 25 min) correspond à : $(8 \times 60) + 25 = 480 + 25 = 505$ minutes.

2. Formules Tableur (Question 2)

• Formule en B2 : La boucle longue prend 15 minutes de plus que la boucle courte ($x$), qui est en B1. La formule est donc : =B1+15.
• Signification de B3 : La formule =2*B1+3*B2 calcule la durée totale du parcours de 2012 (2 boucles courtes + 3 boucles longues).
• Formule en B4 : Le parcours 2013 est composé de trois boucles courtes et deux boucles longues. La formule à saisir est : =3*B1+2*B2.

3. Prédiction des valeurs (Question 3)

Si H1 = 105 ($x=105$) :

• H2 (Longue) : $105 + 15 = 120$ minutes.
• H3 (2012) : $2 \times 105 + 3 \times 120 = 210 + 360 = 570$ minutes.
• H4 (2013) : $3 \times 105 + 2 \times 120 = 315 + 240 = 555$ minutes.

4. Détermination des durées (Question 4)

La solution correspond à la colonne où le temps calculé pour 2012 (Ligne 3) est 520 minutes, ET le temps calculé pour 2013 (Ligne 4) est 505 minutes. On observe que ces valeurs correspondent à la colonne F.

La durée de la boucle courte est donc $x$ (valeur de F1) : 95 minutes.

La durée de la boucle longue est (valeur de F2) : 110 minutes.