Analyse de l'énoncé : un exercice complet sur la gestion budgétaire

Cet exercice du Brevet des collèges combine habilement plusieurs notions fondamentales de 3ème : la lecture de graphiques statistiques, l'application de pourcentages et la résolution d'équations pour atteindre un objectif financier. Il s'agit d'un problème concret de gestion budgétaire, où il faut confronter dépenses et recettes pour déterminer la rentabilité d'un investissement locatif.

Étape 1 : Calcul des dépenses totales de 2013 (Statistiques)

Pour déterminer les dépenses totales de l'année 2013, il est nécessaire d'extraire les données du diagramme en barres (Information 1) :

• Janvier à Avril (4 mois) : 4 × 250 € = 1000 €
• Mai : 450 €
• Juin à Septembre (4 mois, période de forte consommation due à la location/piscine) : 4 × 550 € = 2200 €
• Octobre : 300 €
• Novembre et Décembre (2 mois) : 2 × 150 € = 300 €

Le total des dépenses pour 2013 est donc : 1000 + 450 + 2200 + 300 + 300 = 4250 €.

Étape 2 : Prévisions des dépenses pour 2014 (Pourcentages)

Le montant des dépenses pour 2014 est prévu 6 % plus élevé qu'en 2013. On applique la formule d'augmentation :

Dépenses 2014 = Dépenses 2013 × (1 + Taux d'augmentation)

Dépenses 2014 = 4250 × (1 + 0,06) = 4250 × 1,06 = 4505 €.

Ceci explique pourquoi le total des dépenses s'élèvera bien à 4505 € en 2014.

Étape 3 : Détermination du tarif minimal (Équations)

L'objectif est de couvrir tous les frais (dépenses + remboursement de prêt) par les recettes de location.

1. Coût Total 2014 : Dépenses (4505 €) + Prêt (12 mois × 700 €) = 4505 + 8400 = 12 905 €.
2. Recettes Fixes (Information 3) : Périodes à 750 €/semaine : (4 semaines + 5 semaines) × 750 € = 9 × 750 = 6750 €.
3. Recettes Variables : La période de 7 semaines (05/07 au 23/08) doit générer le reste des recettes. Soit $X$ le tarif hebdomadaire recherché. Les recettes variables sont : $7 imes X$.

Pour couvrir les frais, les recettes totales doivent être supérieures ou égales au coût total : $6750 + 7X \ge 12905$.

$7X \ge 12905 - 6750$

$7X \ge 6155$

$X \ge 6155 \div 7 \approx 879,28 €$.

Arrondi à la dizaine d'euros supérieure (pour couvrir le minimum), le tarif minimal doit être de 880 € par semaine.