Analyse de l'énoncé : Un QCM Polyvalent pour le Brevet

Cet exercice 1, issu de la session 2014 en Nouvelle Calédonie, est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui balaye quatre notions fondamentales du programme de troisième. C'est l'occasion idéale de vérifier votre maîtrise des principes de géométrie (Thalès), des calculs algébriques, et de l'analyse graphique des fonctions.

Points clés et Méthodologie de Résolution

1. Réciproque du Théorème de Thalès (Parallélisme)

Pour déterminer si les droites (FM) et (RP) sont parallèles, nous devons vérifier l'égalité des rapports dans la configuration « papillon » de Thalès, étant donné que les points K, F, R et K, M, P sont alignés. Il faut calculer et comparer les rapports : $\frac{KF}{KR}$ et $\frac{KM}{KP}$.

• $\frac{KF}{KR} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
• $\frac{KM}{KP} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Comme les rapports sont égaux ($\,\frac{KF}{KR} = \frac{KM}{KP}\,$) et que les points sont alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que les droites (FM) et (RP) sont parallèles. (Réponse A : Oui).

2. Calcul Numérique et Priorité des Opérations

On remplace $x$ par $-3$ dans l'expression $5 - 2x$. Attention aux signes : $5 - 2 \times (-3)$. La multiplication est prioritaire, et le produit de deux nombres négatifs est positif : $5 - (-6) = 5 + 6 = 11$. (Réponse B : 11).

3. Lecture Graphique : Images

L'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$ est la valeur $y = f(x)$. Pour trouver l'image de 1, on se place sur l'axe des abscisses à $x=1$, puis on lit l'ordonnée correspondante sur la courbe. Graphiquement, pour $x=1$, on monte jusqu'à l'ordonnée $y=2$. L'image de 1 par la fonction $f$ est 2. (Réponse B).

4. Lecture Graphique : Antécédents

L'antécédent(s) d'un nombre $y$ est/sont la ou les valeur(s) de $x$ telle(s) que $f(x) = y$. Pour trouver le nombre d'antécédents de 2, il faut tracer la droite horizontale d'équation $y=2$ et compter ses intersections avec la courbe. On observe que cette droite coupe la courbe en trois points distincts. Par conséquent, 2 a trois antécédents par la fonction $f$. (Réponse C).