Analyse de l'énoncé et Notions Clés

Cet exercice, issu du Brevet 2014 en Nouvelle-Calédonie, est un excellent entraînement pour la section Arithmétique, en particulier la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Bien que la notion de PGCD de trois nombres puisse être considérée comme « Hors Programme » par rapport au strict minimum attendu au DNB, elle repose sur les principes fondamentaux des diviseurs communs que tout élève de 3ème doit maîtriser. La troisième question intègre ensuite une application directe des probabilités.

Points clés : Le PGCD pour la répartition

Les questions 1 et 2 sont intimement liées. Chercher le nombre maximum de lots identiques en utilisant la totalité du stock (292 crayons, 219 règles et 73 calculatrices) revient à calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de ces trois nombres (292, 219 et 73). Le PGCD est le plus grand nombre de groupes que l'on peut former sans qu'il reste d'objet.

Pour trouver le PGCD, on peut chercher les diviseurs communs ou, plus efficacement ici, décomposer les nombres. On remarque que 73 est potentiellement le diviseur clé, d'autant plus qu'il est souvent premier (73 est effectivement premier).

• Diviseurs de 73 : $73 imes 1$.
• Diviseurs de 219 : $219 \div 73 = 3$. Donc $73 imes 3 = 219$.
• Diviseurs de 292 : $292 \div 73 = 4$. Donc $73 imes 4 = 292$.

Le PGCD des trois nombres est donc 73.

Ainsi, on peut constituer au maximum 73 lots identiques (Réponse Q1). La composition de chaque lot est donnée par le quotient de chaque quantité par le PGCD : 4 crayons, 3 règles et 1 calculatrice (Réponse Q2).

Probabilités Appliquées (Question 3)

La dernière question bascule sur les probabilités. Si l'on distribue 73 lots et que l'effectif total est de 80 élèves, le nombre d'élèves qui ne reçoivent aucun lot est : $80 - 73 = 7$ élèves. La probabilité qu'un élève choisi au hasard ne reçoive aucun lot est le rapport du nombre de cas favorables (les 7 élèves sans lot) sur le nombre total de cas possibles (80 élèves).

Probabilité = $\frac{7}{80}$.

• Maîtrisez la recherche du PGCD de trois nombres.
• Comprenez la relation entre PGCD et répartition de lots identiques.
• Révisez la formule de base des probabilités : $P = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}}$.