Analyse de l'énoncé et Contexte Géométrique

Cet exercice, extrait du Brevet 2014 en Nouvelle-Calédonie, propose une application concrète de la géométrie dans l'espace à travers l'étude du célèbre chapeau vietnamien, le « Nón lá ». Ce chapeau est modélisé par un cône de révolution, dont les dimensions clés sont définies par le triangle rectangle $SOM$ en $O$. Les notions centrales abordées ici sont le Théorème de Pythagore, nécessaire pour calculer la hauteur, et les propriétés de réduction (similitude), utilisées pour déterminer la longueur du ruban.

Question 1 : Calcul de la hauteur par Pythagore

La première étape consiste à déterminer la hauteur $SO$ du cône. Puisque le triangle $SOM$ est rectangle en $O$, nous appliquons le Théorème de Pythagore. $SM$ est l'hypoténuse (37,5 cm) et $OM$ (24 cm) est le rayon de la base. L'égalité de Pythagore s'écrit : $SM^2 = SO^2 + OM^2$. Pour trouver $SO$, nous devons réorganiser l'équation en soustrayant : $SO^2 = SM^2 - OM^2$. Cette étape est fondamentale pour s'assurer que l'élève distingue le calcul de l'hypoténuse de celui d'un côté adjacent à l'angle droit. N'oubliez pas l'étape finale d'arrondir à l'unité.

Question 2 : Réduction et Périmètre (Longueur du ruban)

La deuxième partie introduit la notion de réduction. Le ruban est posé parallèlement à la base, créant une section plane qui est un cercle. La figure géométrique formée par le ruban est donc un cercle.

Le ruban est disposé « au tiers » du chapeau en partant du sommet. Cela signifie que le petit cône supérieur est une réduction du grand cône avec un coefficient de réduction $k = 1/3$. Ce coefficient s'applique directement aux longueurs. Si $R$ est le rayon initial (24 cm) et $R'$ le rayon du ruban, alors $R' = k imes R$. Enfin, la longueur du ruban est le périmètre (ou la circonférence) de ce cercle réduit, calculée par la formule $L = 2 imes \pi imes R'$. Cet exercice lie la géométrie dans l'espace aux calculs de longueurs et aux ratios de réduction, des compétences essentielles pour le Brevet.

Points clés à retenir pour le DNB

• Savoir identifier si l'on cherche l'hypoténuse ou un côté adjacent lors de l'application de Pythagore.
• Connaître la formule du périmètre d'un cercle ($2\pi R$).
• Maîtriser l'impact d'un coefficient de réduction $k$ sur les longueurs (multiplication par $k$).