Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu de l'épreuve du Brevet 2014 (Métropole), propose une étude complète intégrant les trois compétences clés demandées en 3ème : Statistiques, utilisation du Tableur, et Probabilités. L'énoncé décrit une expérience aléatoire simple (tirage de jetons avec remise) dans un sac contenant 20 jetons.

Points clés et Notions Abordées

• Statistiques et Fréquences : Faire le lien entre la fréquence observée sur un grand nombre de tirages (simulation) et la probabilité théorique.
• Tableur : Savoir construire une formule simple pour calculer une fréquence relative.
• Probabilités : Utiliser la formule $P(événement) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$ pour déterminer un effectif inconnu.

Question 1.a : Interprétation statistique

Selon la loi des grands nombres, plus le nombre de tirages est important (ici 1000), plus la fréquence d'apparition d'une couleur se rapproche de sa probabilité théorique, qui elle-même dépend du nombre de jetons de cette couleur dans le sac. La couleur la plus présente dans le sac est celle dont la fréquence d'apparition est la plus élevée. D'après la simulation, cette fréquence maximale est 0,5, correspondant à la couleur jaune.

Question 1.b : Formule Tableur

La colonne C calcule la fréquence d'apparition du jeton rouge. La fréquence est définie comme le rapport entre le nombre de succès (colonne B) et le nombre total d'essais (colonne A). Pour la cellule C2, on doit diviser le contenu de B2 par le contenu de A2. La formule saisie dans la cellule C2 est donc : =B2/A2. Cette formule est ensuite recopiée vers le bas, le tableur ajustant automatiquement les numéros de ligne (B3/A3, B4/A4, etc.).

Question 2 : Détermination de l'effectif

On nous donne la probabilité de tirer un jeton rouge : $P(\text{Rouge}) = \frac{1}{5}$. Nous savons qu'il y a 20 jetons au total dans le sac. Si $N_R$ est le nombre de jetons rouges, alors :

$$P(\text{Rouge}) = \frac{N_R}{\text{Nombre total de jetons}}$$

En remplaçant par les valeurs connues :

$$\frac{1}{5} = \frac{N_R}{20}$$

Pour trouver $N_R$, il suffit de résoudre cette équation : $N_R = \frac{1}{5} \times 20 = 4$.

Il y a donc 4 jetons rouges dans le sac. Cet exercice illustre la nécessité de maîtriser les liens fondamentaux entre probabilité, fréquence et effectif.