Analyse de l'énoncé et Stratégie de Résolution

Cet exercice ouvert nécessite une bonne « prise d'initiatives ». Avant de comparer les caractéristiques des modèles de trottoirs roulants, nous devons déterminer deux éléments essentiels liés à la géométrie de la situation : la longueur du trottoir (distance PC) et son angle d'inclinaison (angle CPH). Nous utiliserons le Théorème de Pythagore et la Trigonométrie dans le triangle rectangle PHC.

1. Calcul de la longueur du trottoir roulant (PC)

Le schéma montre un triangle rectangle PHC, rectangle en H. Les dimensions connues sont la hauteur CH = 4 m et la distance horizontale PH = 25 m. Appliquons le Théorème de Pythagore pour trouver la longueur PC :

• $PC^2 = PH^2 + CH^2$
• $PC^2 = 25^2 + 4^2$
• $PC^2 = 625 + 16 = 641$
• $PC = \sqrt{641} \approx 25,32$ mètres.

2. Calcul de l'angle d'inclinaison ($\alpha$)

Pour déterminer l'angle d'inclinaison $\alpha = \angle CPH$, nous utilisons la fonction trigonométrique Tangente, car nous connaissons les côtés opposé (CH) et adjacent (PH) :

• $\tan(\alpha) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{CH}{PH} = \frac{4}{25} = 0,16$
• $\alpha = \arctan(0,16) \approx 9,09^{\circ}$.

3. Vérification des Modèles

Nous vérifions si l'angle d'inclinaison ($9,09^{\circ}$) et le temps de parcours (max 60 secondes) sont respectés.

Modèle 1 : Vitesse 0,5 m/s | Angle Max $12^{\circ}$

• **Angle :** $9,09^{\circ} < 12^{\circ}$. Contrainte d'angle respectée.
• **Temps :** $T = \frac{D}{V} = \frac{25,32}{0,5} = 50,64$ secondes. Puisque $50,64$ s $< 60$ s, la contrainte de temps est respectée.

Modèle 2 : Vitesse 0,75 m/s | Angle Max $6^{\circ}$

• **Angle :** $9,09^{\circ} > 6^{\circ}$. Contrainte d'angle NON respectée.

Conclusion : Seul le Modèle 1 convient pour équiper le centre commercial, car il respecte à la fois l'angle d'inclinaison maximum et la durée de parcours imposée.