Introduction à l'exercice QCM

Cet exercice, issu de la session 2014 du Brevet en Amérique du Nord, est un questionnaire à choix multiples (QCM) très complet. Il balaye les notions fondamentales de la classe de Troisième : le calcul numérique (fractions et racines carrées), l'arithmétique (PGCD) et les inéquations du premier degré. L'absence de justification demandée souligne l'importance d'une maîtrise rapide et sans erreur des méthodes de calcul.

Analyse détaillée des questions

1. Calcul de fractions et ordre des opérations

La première question exige le respect des priorités opératoires : il faut d'abord effectuer l'addition des fractions entre parenthèses. Puisque les dénominateurs sont communs, l'addition est simple : $\left(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}\right) = \dfrac{5}{7}$. La division par une fraction équivaut à la multiplication par son inverse. Ainsi, $\dfrac{5}{7} : \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{7} \times 5 = \dfrac{25}{7}$. (Réponse B)

2. Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Pour trouver le PGCD de 84 et 133, on utilise généralement l'algorithme d'Euclide. Les divisions successives mènent rapidement au résultat :

• $133 = 1 \times 84 + 49$
• $84 = 1 \times 49 + 35$
• $49 = 1 \times 35 + 14$
• $35 = 2 \times 14 + 7$
• $14 = 2 \times 7 + 0$

3. Résolution d'une inéquation

La résolution de $- 3x + 5 \geqslant 9$ nécessite d'isoler $x$. On obtient $- 3x \geqslant 9 - 5$, soit $- 3x \geqslant 4$. L'étape cruciale est la division par $-3$. Attention : lorsqu'on divise ou multiplie une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité. Donc $x \leqslant \dfrac{- 4}{3}$. (Réponse A)

4. Calcul avec les racines carrées

La dernière question fait appel à l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici, $a=1$ et $b=\sqrt{2}$. On calcule : $(1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$. (Réponse C)

Conclusion et conseils de révision

Ce QCM confirme l'importance de maîtriser les règles de base : ordre des opérations, algorithme d'Euclide, et manipulation des identités remarquables et des règles de changement de signe dans les inéquations. Pour l'examen, assurez-vous de pouvoir réaliser ces calculs rapidement et sans calculatrice.