Analyse pédagogique du sujet STL 2021
Cet exercice de mathématiques pour la filière STL (Sciences et Technologies de Laboratoire) offre un balayage complet des compétences du programme de Terminale. Structuré en six questions indépendantes (dont quatre à choisir), il teste la polyvalence des candidats sur l'analyse de fonctions, l'intégration, les propriétés algébriques du logarithme népérien et la géométrie plane.
La fonction exponentielle : l'incontournable du Bac
Les trois premières questions se concentrent sur la fonction $f(x) = (4x - 1)e^x$. C'est un grand classique de type 'produit' ($uv$). L'élève doit mobiliser la formule de dérivation $(uv)' = u'v + uv'$. L'analyse des limites en $+\infty$ permet de vérifier la maîtrise des croissances comparées, bien que dans ce cas précis, une simple opération sur les limites suffit puisque les deux termes tendent vers $+\infty$. Le tableau de variations nécessite une étude de signe rigoureuse du facteur $(4x+3)$, l'exponentielle restant toujours strictement positive.
Intégration et propriétés des Logarithmes
La question 4 porte sur une intégrale simple de fonction affine. C'est un point de méthodologie crucial : savoir identifier une primitive de la forme $ax+b$. La question 5, quant à elle, fait appel à la décomposition en facteurs premiers ($576 = 2^6 \times 3^2$) combinée aux propriétés fondamentales du logarithme : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a^n) = n\ln(a)$. C'est un excellent test de manipulation algébrique sans calculatrice.
Géométrie plane et Théorème d'Al-Kashi
La dernière question replace la géométrie au centre du sujet. Pour calculer une longueur dans un triangle non rectangle dont on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux, l'application de la loi des cosinus (théorème d'Al-Kashi) est indispensable : $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$. Cette partie exige une connaissance précise des valeurs remarquables du cosinus, notamment $\cos(60^{\circ}) = 1/2$.
Compétences techniques requises
- Maîtrise de la dérivation des fonctions composées et produits.
- Utilisation des limites usuelles de la fonction exponentielle.
- Calcul de primitives simples et application du théorème fondamental de l'analyse.
- Manipulation des propriétés algébriques de la fonction $\ln$.
- Application du théorème d'Al-Kashi pour la résolution de triangles quelconques.