Analyse de l'exercice : Équations différentielles et Chute de corps

Cet exercice, issu du sujet de Bac STL 2023 en Polynésie (épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques), porte sur l'application des équations différentielles du premier ordre à la mécanique des fluides. Le problème propose de modéliser la vitesse d'une bille de plomb chutant dans une huile visqueuse à l'aide d'une équation de la forme y' = ay + b.

Compétences mathématiques et techniques sollicitées

• Résolution d'équations différentielles : La maîtrise de la forme générale des solutions de l'équation y' = ay + b est indispensable. Ici, avec a = -27,7 et b = 9,81, les solutions sont de la forme f(t) = C * exp(at) - (b/a).
• Utilisation des conditions initiales : La détermination de la constante C se fait via la condition v(0) = 0, traduisant un départ au repos.
• Calcul de limites : L'analyse du comportement asymptotique (t tend vers l'infini) permet d'identifier la vitesse limite de la bille, une notion fondamentale en dynamique des fluides.

Interprétation Physique du problème

L'équation différentielle fournie résulte de l'application de la deuxième loi de Newton, où les forces de frottement fluide sont modélisées comme proportionnelles à la vitesse (régime laminaire). Le terme 9,81 représente l'accélération de la pesanteur (corrigée éventuellement par la poussée d'Archimède), tandis que le coefficient 27,7 est lié à la viscosité du fluide et aux caractéristiques de la bille. La solution trouvée montre une croissance exponentielle de la vitesse vers une valeur stabilisée, appelée vitesse terminale.

Conseils pour la rédaction au Bac

Pour obtenir le maximum de points, l'élève doit clairement citer la formule du cours pour les équations différentielles linéaires. Il est crucial de détailler le passage de la solution générale à la solution particulière en montrant le calcul de la constante. Enfin, pour la limite, il est attendu de mentionner que la limite de exp(-kt) est nulle lorsque t tend vers l'infini si k est positif.