Cet exercice du baccalauréat de mathématiques, issu du sujet 2 de Polynésie de la session 2026, propose une exploration complète de notions fondamentales du programme de Terminale : l'étude d'une fonction logarithmique, l'analyse d'une suite récurrente et la compréhension d'un algorithme rédigé en langage Python. La progression en trois parties indépendantes mais conceptuellement liées offre un excellent support pour s'entraîner de façon transversale aux différentes attentes de l'examen final.
Compétences et clés de réussite
La maîtrise de ce sujet requiert une articulation fluide entre l'analyse fonctionnelle, les suites mathématiques et la programmation de base. Voici les points méthodologiques cruciaux à retenir et à mobiliser lors de vos révisions :
1. Étude approfondie de la fonction logarithme et de ses variations
La première étape de l'exercice (Partie A) exige de solides compétences en calcul différentiel. L'élève doit déterminer la fonction dérivée d'une fonction composée de la forme $f(x) = \ln(u(x))$. Il est indispensable de se rappeler de la formule classique $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Ensuite, l'étape de factorisation ou de simplification du dénominateur, par exemple en identifiant un produit de polynômes, permet d'étudier sereinement le signe de cette dérivée. Cette analyse technique mène à démontrer la monotonie stricte de la fonction sur un intervalle donné et à encadrer ses valeurs.
Dans un second temps, l'exercice requiert l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (souvent appelé théorème de la bijection). Pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à une équation du type $g(x) = 0$, il faut s'assurer d'énoncer très clairement les hypothèses : la continuité sur l'intervalle, la stricte monotonie de la fonction et les signes opposés des valeurs aux bornes. C'est une compétence rédactionnelle incontournable qui est systématiquement évaluée par les correcteurs au Bac.
2. Maîtrise des suites récurrentes et du raisonnement par récurrence
La Partie B fait habilement le pont entre l'étude de la fonction et le chapitre des suites numériques en introduisant la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Le principe de démonstration par récurrence s'impose ici comme l'outil phare pour démontrer que la suite est monotone et encadrée (bornée). La clé de la réussite réside dans l'utilisation pertinente de la croissance de la fonction $f$, établie dans la Partie A, ce qui permet de conserver le sens des inégalités lors de l'étape d'hérédité.
Une fois cet encadrement rigoureusement prouvé, le théorème de convergence monotone intervient pour conclure : toute suite croissante et majorée converge vers une limite réelle. La démarche s'achève par la caractérisation de cette limite, en justifiant que, grâce à la continuité de la fonction, la limite satisfait nécessairement l'équation du point fixe $f(L) = L$. Cela ramène élégamment à l'équation résolue précédemment via le TVI.
3. Compréhension des boucles Python et de leurs limites d'exécution
La dernière partie de l'exercice (Partie C) permet de valider vos capacités en algorithmique. Face à une fonction Python contenant une boucle while (boucle non bornée), l'objectif est d'interpréter le calcul réalisé par la machine. Le compteur n s'incrémente tant que les termes de la suite restent inférieurs à un seuil donné. Ce script permet ainsi d'identifier le rang minimal à partir duquel la suite dépasse une certaine valeur (calcul de seuil).
Enfin, la capacité d'analyse critique est testée : vous devez savoir diagnostiquer une boucle infinie. Il est attendu que vous utilisiez les résultats théoriques obtenus précédemment, en particulier la limite maximale atteignable par la suite, pour comprendre pourquoi une condition d'arrêt pourrait ne jamais être vérifiée. En résumé, cet exercice est un grand classique qui allie rigueur algébrique, logique algorithmique et précision rédactionnelle.