Analyse du Sujet Bac Maths 2024 : Polynésie (Jour 2)

Le sujet de mathématiques du Baccalauréat 2024 pour la zone Polynésie (Sujet 2) est un excellent cru qui balaye l'ensemble des thématiques majeures du programme de Terminale Spécialité. Équilibré et ancré dans le réel (avec des contextes liés aux JO de Paris 2024 et aux drones), il demande aux élèves de la rigueur dans la rédaction et une bonne maîtrise du calcul.

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les enjeux et les pièges de cette épreuve.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (Thème JO 2024)

Cet exercice de 4 points ancre les mathématiques dans l'actualité avec un contexte sondagier sur les Jeux Olympiques.

• Partie 1 (Probabilités conditionnelles) : C'est un classique absolu. L'élève doit construire un arbre pondéré pour calculer l'intersection de deux événements $P(J \cap S)$. La difficulté est minime, c'est une question de mise en confiance. La formule des probabilités totales est ensuite attendue pour calculer $P(S)$ ou une probabilité conditionnelle inverse (Formule de Bayes implicite).
• Partie 2 (Loi Binomiale & Prise de décision) : On bascule sur une répétition d'épreuves (30 personnes interrogées). Il faut justifier la loi binomiale (indépendance, répétition, succès/échec).
• Le piège du budget : La dernière question est la plus intéressante. Elle demande de modéliser un problème concret : le budget de 10 000 € permet-il d'offrir des places à 380 € ? Il fallait d'abord déterminer combien de places maximum on peut acheter ($10000/380 \approx 26,3$), puis calculer la probabilité que la variable aléatoire $X$ soit supérieure ou égale à 27. C'est une excellente question de synthèse.

Exercice 2 : QCM (Analyse, Équations différentielles et Combinatoire)

Ce QCM de 5 points est varié et teste la réactivité des candidats.

• Question 1 (Équations différentielles) : Une équation linéaire du premier ordre $y' = -3y + 7$. La solution particulière constante est $7/3$. Il fallait repérer la forme $Ke^{-3x} + 7/3$ et utiliser la condition initiale.
• Question 2 (Calcul intégral graphique) : Estimation d'aire sous la courbe. Pas de calcul de primitive ici, mais une lecture graphique (comptage de carreaux ou rectangles) pour encadrer l'intégrale.
• Question 3 (Le piège de l'intégrale) : C'est la question subtile du sujet ! On demande $\int_0^2 g'(x) \text{d}x$. Beaucoup d'élèves se lancent dans des calculs compliqués alors que le théorème fondamental de l'analyse donne directement $[g(x)]_0^2 = g(2) - g(0)$.
• Questions 4 & 5 (Combinatoire) : Le retour en force du dénombrement. La question 4 est une simple combinaison $\binom{31}{5}$. La question 5 introduit une contrainte (exactement 3 élèves de SES), nécessitant de multiplier les combinaisons (choisir 3 parmi 20 $\times$ choisir 2 parmi les 11 autres).

Exercice 3 : Suites, Fonctions et Python

Noté sur 6 points, cet exercice mélange l'étude de fonctions et les suites récurrentes de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.

• Algorithmique : Le script Python calcule une somme de termes. La question demandait de le modifier pour obtenir une moyenne, ce qui exigeait de diviser la somme finale par $k$.
• Étude de fonction : La fonction $f(x) = x - \ln(x/4)$ nécessite une dérivée simple. Le signe de la dérivée dépend de $1 - 1/x$, donc du signe de $x-1$.
• Convergence : La démonstration par récurrence de l'inégalité $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ prouve que la suite est décroissante et minorée, donc convergente.
• Théorème du point fixe : Pour trouver la limite, il fallait résoudre $f(\ell) = \ell$, ce qui menait à $\ln(\ell/4) = 0$, soit $\ell = 4$.

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace (Thème Drones)

Un exercice très complet de 5 points qui modélise un spectacle de drones.

• Équation de plan : Après avoir vérifié que trois points ne sont pas alignés, l'élève doit montrer qu'un vecteur est normal au plan (produit scalaire nul avec deux vecteurs directeurs du plan) pour en déduire l'équation cartésienne.
• Intersection Droite/Plan : Une compétence standard. On injecte la représentation paramétrique de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver le paramètre $t$.
• Physique et Distance : La fin de l'exercice est originale. On demande d'abord de valider une distance point-plan. Ensuite, une question de cinématique : le drone a-t-il le temps d'arriver ? Il fallait calculer le temps $t = d/v$ avec la distance trouvée (attention à l'unité : centaines de mètres !) et le comparer aux 40 secondes disponibles. Une conversion d'unités pouvait piéger les inattentifs.

Conclusion

Ce sujet de Polynésie 2024 est un très bon entraînement pour le Bac. Il ne présente pas de difficulté calculatoire extrême mais exige une lecture attentive des énoncés (unités, contextes) et une bonne maîtrise des théorèmes fondamentaux (point fixe, intégrale de la dérivée).