Compétences et clés de réussite

Cet exercice de probabilités, tiré du sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2023 (Amérique du Sud, Sujet 1), mobilise plusieurs concepts fondamentaux du programme de Terminale. Il est structuré en trois parties distinctes allant de l'analyse statistique simple à la modélisation probabiliste complexe.

1. Statistiques descriptives et pourcentages

La première partie demande une lecture attentive des données pour effectuer des calculs de pourcentages. La principale difficulté réside ici dans la gestion des ordres de grandeur et la précision des arrondis. Il faut être capable de traduire un énoncé littéral en fractions simples.

2. Loi Binomiale et recherche de seuil

La seconde partie modélise une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Les clés de la réussite sont :

• Justification de la loi : Il est impératif de citer les conditions d'application (indépendance, répétition, succès/échec) et de préciser les paramètres $n$ et $p$.
• Calcul de probabilité : L'application directe de la formule de la loi binomiale pour $P(X=k)$ est requise.
• Inéquation sur $n$ : La question demandant la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$ est un classique. La méthode consiste à passer par l'événement contraire (aucun succès) et à résoudre l'inéquation en utilisant le logarithme népérien (ln) pour isoler l'inconnue en exposant.

3. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

La dernière partie introduit une complexité supplémentaire avec l'étude des jumeaux monozygotes et dizygotes. L'élève doit construire un arbre pondéré reflétant deux niveaux de conditionnement. La subtilité réside dans la modélisation des "vrais jumeaux" (sexes identiques obligatoires) par rapport aux "faux jumeaux" (indépendance des sexes).

Pour réussir cette section, il faut maîtriser :

• La formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un événement situé en bout de branches (ici, avoir deux filles).
• La formule de Bayes (ou probabilité conditionnelle inverse) pour déterminer la probabilité de la cause (être monozygote) sachant la conséquence (avoir deux filles).

Cet exercice est un excellent entraînement car il combine l'approche algébrique de la loi binomiale avec le raisonnement logique nécessaire à l'interprétation d'arbres de probabilités complexes.