Compétences et clés de réussite

Cet exercice tiré du Sujet 0 du Baccalauréat 2024 (Exercice 6) est un classique du genre Vrai/Faux justifié. Il aborde l'étude des suites numériques définies par récurrence, un thème incontournable de l'enseignement de spécialité mathématiques en Terminale.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs compétences analytiques et calculatoires :

• Maîtrise du calcul algébrique : La première affirmation demande de calculer les premiers termes d'une suite définie par une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$. La difficulté réside ici dans la manipulation de fractions superposées. Une erreur de calcul dès les premiers rangs ($u_1$, $u_2$) rendrait la justification fausse. La rigueur arithmétique est primordiale.
• Le raisonnement par récurrence : L'Affirmation 2 propose une forme explicite ($u_n$ en fonction de $n$) pour une suite définie par récurrence. C'est le signal typique pour engager une démonstration par récurrence. L'élève doit savoir structurer sa preuve : initialisation, hérédité (en manipulant l'expression pour passer du rang $n$ au rang $n+1$) et conclusion. C'est une compétence clé évaluée systématiquement au baccalauréat.
• Compréhension des notions de bornes et de limites : L'Affirmation 3 teste la compréhension fine du comportement asymptotique de la suite. Il s'agit de déterminer si la suite est minorée par une valeur très petite mais strictement positive ($10^{-10}$). Cela invite le candidat à étudier la limite de la suite (souvent déduite de la forme explicite validée précédemment) ou à observer la décroissance des termes vers 0. La distinction entre "être minorée par 0" et "être minorée par un réel strictement positif" est le piège classique à éviter ici.

En résumé, cet exercice de type QCM justifié ne permet pas le hasard. Chaque réponse nécessite une démonstration rigoureuse, qu'il s'agisse d'un contre-exemple, d'un calcul direct ou d'une preuve théorique comme la récurrence.