Introduction au Sujet du Bac Maths 2025 - Amérique du Sud (Jour 1)

Le sujet du Bac de Spécialité Mathématiques 2025 Amérique du Sud (Jour 1) est une véritable pépite pour les élèves qui souhaitent s'entraîner efficacement. Mêlant modélisations concrètes et raisonnements abstraits, il balaie la quasi-totalité du programme de Terminale. Se confronter à ce type d'épreuve est indispensable pour valider ses acquis et viser la mention. Dans cet article de fond, nous décortiquons chaque exercice pour mettre en lumière les notions évaluées, les pièges classiques à éviter, et la « philosophie » mathématique de l'épreuve.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles, Suites et Algorithmique (4 points)

L'épreuve s'ouvre sur un grand classique : l'étude d'un phénomène évolutif à l'aide des probabilités, ici les choix de repas (végétarien ou non) d'un étudiant. Cet exercice permet d'évaluer la transition entre une chaîne de probabilités et la modélisation par les suites numériques.

• Les notions clés : Arbres pondérés, formule des probabilités totales, inversion de conditionnement (Bayes), suites arithmético-géométriques, récurrence, programmation Python.
• Analyse et conseils : La difficulté principale de la première partie réside dans la question 1.c, qui demande de calculer la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien sachant que le lendemain il a mangé végétarien. C'est une inversion de conditionnement classique qui exige rigueur et clarté dans la notation. Le passage à la suite $(p_n)$ via la relation $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$ découle logiquement de l'arbre. Côté algorithmique, l'exercice innove en proposant trois programmes Python : il faut bien comprendre l'utilisation de la boucle for et de la méthode L.append() pour stocker les termes successifs. Enfin, la démonstration par récurrence est très guidée et débouche naturellement sur le calcul de la limite de la suite.

Exercice 2 : Vrai/Faux - Combinatoire et Loi Binomiale (5 points)

Le redoutable exercice du Vrai/Faux ! Souvent perçu comme un exercice « quitte ou double », il requiert une attention millimétrée. Une réponse juste sans justification ne rapporte aucun point.

• Les notions clés : Dénombrement (produit cartésien, combinaisons, arrangements), variables aléatoires indépendantes, loi binomiale, probabilités conditionnelles.
• Analyse et conseils : Cet exercice teste la capacité de l'élève à ne pas se laisser piéger par son intuition.
  • Combinatoire : L'affirmation sur les poignées de main est un piège classique ; il ne s'agit pas d'additionner les joueurs (47), mais de multiplier les choix ($22 \times 25$). De même pour la course, il faut distinguer la distribution de prix identiques (combinaisons) d'un podium ordonné (arrangements avec placement).
  • Variables aléatoires : Attention à la somme $Y = X_1 + X_2$. L'affirmation 4 teste si l'élève sait que l'événement $\{Y=4\}$ ne correspond qu'à $\{X_1=2 \cap X_2=2\}$ et non à la simple somme de probabilités disparates.
  • Loi Binomiale : L'affirmation 5 est calculatoire. Elle mélange la loi binomiale et les probabilités conditionnelles $P(X \geq 18 | X \geq 15)$. Une excellente maîtrise des fonctions de répartition de la calculatrice est requise.

Exercice 3 : Équations Différentielles, Fonction Exponentielle et Intégration (6 points)

Ce problème massif (6 points) étudie l'évolution de la concentration d'un médicament dans le sang. Il requiert une vision globale de l'analyse en Terminale.

• Les notions clés : Lecture graphique, équations différentielles linéaires du premier ordre ($y' + ay = b(t)$), étude de fonction, Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), calcul intégral et valeur moyenne.
• Analyse et conseils : L'exercice est structuré de façon magistrale.
  • Parties A, B et C : On commence par de la lecture graphique pure (déduction de la convexité visuellement), avant de retrouver l'expression de la fonction $f(t) = 5t\text{e}^{-t}$ en résolvant l'équation différentielle $(E): y' + y = 5\text{e}^{-t}$. L'étude de fonction qui s'ensuit est classique : croissance comparée pour la limite en $+ \infty$, dérivation, tableau de variations et utilisation du TVI pour évaluer une durée de "somnolence".
  • Partie D (Le coup de génie) : On demande de calculer la concentration moyenne, soit l'intégrale $\int_0^1 f(t) \text{d}t$. Le calcul direct par primitive de $t\text{e}^{-t}$ nécessiterait une intégration par parties, hors programme de base. L'astuce brillante attendue du candidat ? Se rappeler que $f$ est solution de $(E)$, donc $f(t) = 5\text{e}^{-t} - f'(t)$ ! L'intégrale devient alors triviale à calculer grâce aux crochets de primitives. Cette transversalité est la marque des grands sujets.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

L'épreuve se clôt sur de la géométrie analytique dans un repère orthonormé. Ce type d'exercice récompense grandement les élèves qui font l'effort de se représenter l'espace mentalement ou par un petit schéma de brouillon.

• Les notions clés : Représentation paramétrique de droite, optimisation de distance, projeté orthogonal, produit scalaire, orthocentre, vecteur normal, équation cartésienne de plan, volumes et aires.
• Analyse et conseils : L'exercice s'éloigne intelligemment des simples vérifications de coordonnées. Il commence par demander la distance $OM(t)$, aboutissant à un trinôme du second degré sous la racine. Son minimum donne la position géométrique du projeté orthogonal $H$. L'utilisation du produit scalaire pour prouver que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$ est très formatrice. Enfin, le point d'orgue est le calcul de l'aire du triangle $ABC$. Puisque $(OH)$ est prouvée orthogonale au plan $(ABC)$, on obtient la hauteur du tétraèdre $OABC$. En utilisant la formule du volume du tétraèdre de deux manières différentes (avec la base facile $OAB$ ou avec la base $ABC$), on déduit l'aire sans jamais utiliser le produit vectoriel. Du pur raisonnement mathématique !

Bilan : Comment aborder ce sujet ?

Le sujet d'Amérique du Sud 2025 est très équilibré et extrêmement riche d'un point de vue pédagogique. Pour s'y entraîner efficacement, nous conseillons de le traiter en conditions réelles (4 heures). Ne survolez pas les questions de justification et cherchez toujours le lien entre la question posée et les résultats démontrés précédemment. Bonnes révisions !