Analyse du sujet et contexte

Cet exercice de mathématiques, issu de la session de remplacement de septembre 2021 en Métropole, aborde l'un des piliers du programme de Terminale : les probabilités. Le contexte est une situation concrète de gestion de courriels (spams et messages indésirables), ce qui permet d'appliquer directement les outils mathématiques à une problématique réelle. L'exercice se divise en deux parties classiques : l'étude des probabilités conditionnelles via un arbre, puis l'étude d'une répétition d'épreuves menant à une loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

1. Modélisation par un arbre pondéré

La première étape cruciale est de traduire l'énoncé en un arbre de probabilités. Les élèves doivent être vigilants sur la distinction entre la probabilité d'un événement (premier niveau de l'arbre) et la probabilité conditionnelle (branches secondaires). Ici, l'énoncé donne $P(S)$ ainsi que $P_S(I)$ et $P_{\overline{S}}(I)$. Une lecture attentive est nécessaire pour placer les bonnes valeurs sur les bonnes branches et vérifier que la somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

2. Utilisation des formules de probabilités

Pour réussir les questions suivantes, il faut maîtriser deux théorèmes fondamentaux :

• La définition de l'intersection : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
• La formule des probabilités totales : pour calculer la probabilité d'un événement situé en bout d'arbre (ici l'événement $I$), il faut additionner les probabilités de tous les chemins menant à cet événement.

Une question classique d'inversion du conditionnement est également posée (calculer $P_I(S)$). Il s'agit d'appliquer la formule de Bayes de manière intuitive : $P_I(S) = \frac{P(S \cap I)}{P(I)}$.

3. Loi Binomiale et événement contraire

La seconde partie de l'exercice introduit un échantillon de 50 courriels. Les mots-clés « tirage au hasard », « avec remise » et « deux issues possibles » (spam ou non) doivent immédiatement orienter vers la justification d'une loi binomiale. Il faut préciser les paramètres $n$ et $p$.

Enfin, pour calculer la probabilité qu'au moins deux courriels soient des spams, l'astuce incontournable est de passer par l'événement contraire. Calculer directemen $P(Z \geq 2)$ serait trop long. Il est bien plus efficace de calculer $1 - (P(Z=0) + P(Z=1))$, en utilisant la formule de la loi binomiale pour les valeurs 0 et 1.