Analyse de l'Exercice 4 (Choix A) - Bac Spécialité Maths Polynésie 2021

Cet exercice, proposé lors de la session de juin 2021 en Polynésie, est un classique des sujets de baccalauréat portant sur l'analyse. Il est structuré en trois parties indépendantes qui permettent de tester des compétences variées, allant de l'intuition graphique à la rigueur algébrique des équations différentielles.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser plusieurs points clés du programme de Terminale :

• Lecture graphique et interprétation géométrique : La première partie demande de relier des concepts abstraits (nombre dérivé, convexité) à leur représentation visuelle. Il est essentiel de savoir lire le coefficient directeur d'une tangente (ici la droite AB) pour déterminer $f'(0)$ et de repérer la position de la courbe par rapport à ses tangentes pour estimer la convexité.
• Équations différentielles ($y' = ay + f(x)$) : La deuxième partie aborde la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. La méthode attendue est classique : résolution de l'équation homogène associée, utilisation d'une solution particulière donnée, puis combinaison des deux pour obtenir la solution générale. Il faut également savoir utiliser une condition initiale ($f(0)=2$) pour identifier l'unique fonction solution du problème.
• Étude de fonction complète : La dernière partie est une étude analytique de la fonction $f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$. Elle requiert une maîtrise parfaite de la dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ et de la dérivée de la fonction composée $\text{e}^{u}$. L'étude du signe de la dérivée permet de dresser le tableau de variation.
• Convexité et dérivée seconde : L'exercice se termine par le calcul de la dérivée seconde $f''$. L'élève doit être capable d'étudier son signe pour conclure sur la convexité de la fonction sur un intervalle donné, validant ou nuançant ainsi les conjectures graphiques de la première partie.

Conseils méthodologiques

Une attention particulière doit être portée aux signes lors des calculs de dérivées avec l'exponentielle de $-x$. Il est fréquent d'oublier le facteur $(-1)$ provenant de la dérivée interne. De plus, lors de l'étude du signe, rappelez-vous que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, ce qui simplifie souvent l'analyse des inéquations.