Analyse et clés de réussite pour l'Exercice 2 - Amérique du Nord 2021

Cet exercice de mathématiques du Baccalauréat 2021 (zone Amérique du Nord) propose une application classique des suites numériques à la modélisation biologique. L'objectif est d'étudier l'évolution d'une population animale menacée d'extinction. Ce type de problème permet d'évaluer la capacité des élèves à passer d'une étude de fonction à l'analyse du comportement asymptotique d'une suite.

Compétences mathématiques mobilisées

• Étude de fonction auxiliaire : Avant d'aborder la suite, l'exercice demande d'étudier les variations d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[0;1]$. Il faut maîtriser le calcul de la dérivée et l'étude de son signe pour prouver que la fonction est croissante, une propriété essentielle pour la suite de l'exercice.
• Résolution d'équation : La résolution de $f(x) = x$ est une étape clé (recherche de points fixes) qui permet d'anticiper la limite éventuelle de la suite.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'exercice. Il faut démontrer que la suite est bornée ($0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$) et décroissante. La croissance de la fonction $f$ établie précédemment est l'argument principal pour l'étape d'hérédité.
• Théorème de convergence monotone : Une fois la décroissance et la minoration établies, on déduit la convergence de la suite. Le calcul de la limite $\ell$ s'appuie sur la continuité de la fonction $f$ et l'équation $f(\ell) = \ell$.
• Algorithmique (Python) : L'exercice se conclut par l'analyse d'un script Python. Il s'agit d'une boucle while (tant que) déterminant le seuil à partir duquel la population passe sous un niveau critique (extinction).

Conseils pour le jour de l'épreuve

Dans ce type de modélisation, ne perdez pas de vue le contexte concret. Si vous trouvez une population négative ou une limite incohérente avec le modèle (ex: une population qui explose alors qu'elle devrait s'éteindre), relisez vos calculs. Pour la partie Python, décrivez précisément ce que fait la fonction : elle renvoie le rang $n$ (le nombre d'années) nécessaire pour que la condition $u > 0,02$ ne soit plus vérifiée.