Analyse du Sujet Bac Maths Spécialité - Métropole Septembre 2023 (Sujet 2)

Le sujet de la session de rattrapage (ou session 2) de Métropole 2023 est un excellent entraînement pour tout élève de Terminale. Il balaie les quatre piliers majeurs du programme : les Probabilités conditionnelles et discrètes, l'Analyse de fonctions avec logarithme et convexité, les Suites numériques (incluant Python et récurrence), et enfin la Géométrie dans l'espace sous forme de QCM. Voici une analyse détaillée et stratégique pour aborder cette épreuve avec sérénité.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (5 points)

Cet exercice est un classique absolu du Bac. Il ancre les mathématiques dans une situation concrète (dépistage d'une maladie chez les vaches).

Partie A : Probabilités conditionnelles

L'exercice commence par la construction d'un arbre pondéré. C'est la base de tout raisonnement ici. Il faut distinguer l'événement $I$ (Maladie) et $T$ (Test positif).
Compétences clés :

• Utiliser la Formule des Probabilités Totales pour calculer $P(T)$.
• Calculer une probabilité conditionnelle inverse (la valeur prédictive), souvent formulée comme $P_T(I)$. C'est une application classique de la formule de Bayes.
• Comprendre la notion de "faux positif" et "faux négatif" pour calculer la probabilité d'erreur.

Partie B : Répétition et Loi Binomiale

On passe à un échantillon de 100 vaches. La répétition d'expériences identiques et indépendantes (tirage avec remise) doit immédiatement vous faire penser à la Loi Binomiale.
Le piège : La dernière question demande de trouver une taille d'échantillon $n$ pour qu'une probabilité dépasse 0,99. L'astuce consiste toujours à passer par l'événement contraire (aucune vache positive) et à résoudre une inéquation faisant intervenir des logarithmes.

Exercice 2 : Étude de fonction et Convexité (5 points)

C'est l'exercice d'analyse par excellence, mêlant lecture graphique et calcul algébrique. La fonction étudiée est $f(x) = (2-\ln x) \ln x$.

Analyse Graphique vs Calculatoire

L'originalité ici est que l'on vous donne la courbe de la dérivée $f'$, et non celle de $f$.
Point de vigilance : Ne confondez pas les variations de $f'$ (qui indiquent la convexité de $f$) avec le signe de $f'$ (qui indique les variations de $f$).

Compétences évaluées :

• Calcul de limites avec les croissances comparées ou les opérations usuelles sur le logarithme népérien (notamment en 0).
• Résolution d'équation $f(x)=0$ (équation produit nul).
• Dérivation de produits : $(uv)' = u'v + uv'$.
• Étude de la dérivée seconde $f''(x)$ pour trouver le point d'inflexion exact.

Exercice 3 : Suites, Python et Récurrence (5 points)

Un exercice très complet qui demande de la rigueur. La suite est définie par récurrence : $u_{n+1} = \frac{1}{\text{e}}\left(1+\frac{1}{n}\right) u_{n}$.

Programmation et Logique

On vous demande de compléter un script Python. Il s'agit d'un algorithme de calcul de termes successifs. La difficulté est faible si vous comprenez la syntaxe de la boucle for et l'accumulateur.

Démonstration et Limites

L'exercice guide vers la démonstration que la suite est décroissante via une inégalité donnée ($1+1/n \leqslant \text{e}$).
Le cœur du problème : La question 4 demande une démonstration par récurrence pour prouver une formule explicite $u_n = \frac{n}{\text{e}^n}$. Une fois cette formule établie, la limite se calcule par croissances comparées (le facteur exponentiel l'emporte toujours sur la puissance en $+\infty$).

Exercice 4 : QCM de Géométrie dans l'espace (5 points)

Le QCM est souvent perçu comme "facile", mais il nécessite une maîtrise parfaite des équations de plans et des produits scalaires.

Notions abordées :

• Appartenance d'un point à un plan : Il suffit de tester les coordonnées dans l'équation cartésienne.
• Nature d'un triangle : Calculs de distances via les coordonnées.
• Position relative Droite/Plan : Utiliser le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. Si leur produit scalaire est nul, la droite est parallèle au plan (ou incluse).
• Angle géométrique : Utilisation de la définition du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$.
• Intersection de deux plans : Regarder si les vecteurs normaux sont colinéaires. Si non, l'intersection est une droite.

Verdict de l'expert

Ce sujet Métropole Septembre 2023 est très équilibré. Il ne présente pas de difficulté calculatoire majeure mais exige une lecture attentive, notamment dans l'exercice 2 (graphique de la dérivée) et l'exercice 1 (interprétation des événements). C'est un sujet idéal pour finaliser ses révisions.