Analyse du Sujet de Bac Spécialité Mathématiques - Polynésie 2023 (Sujet 2)

Le sujet de Baccalauréat Spécialité Mathématiques tombé en Polynésie le 14 mars 2023 (Sujet 2) est un excellent support d'entraînement pour les élèves de Terminale. Équilibré et balayant une grande partie du programme, il demande de la rigueur sur l'analyse de fonctions, une bonne vision dans l'espace et une maîtrise des classiques en probabilités et suites. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les attentes du correcteur et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Suites Numériques

Ce premier exercice est un grand classique du Bac, mêlant probabilités et suites arithmético-géométriques. Il est divisé en deux parties indépendantes.

Partie A : L'évolution probabiliste

L'élève est confronté à une situation d'évolution jour après jour. C'est la structure typique où l'on définit un état à l'étape $n$ (réussir la haie) et où l'on cherche la probabilité à l'étape $n+1$.

• Les compétences clés : Savoir construire un arbre pondéré avec des notations indiciées ($R_n$, $R_{n+1}$). Traduire l'énoncé en égalités de probabilités conditionnelles.
• Le cœur du problème : La démonstration de la relation de récurrence $p_{n+1} = a p_n + b$ via la formule des probabilités totales. C'est une étape incontournable.
• L'étude de la suite : On introduit une suite auxiliaire $(u_n)$ pour se ramener à une suite géométrique. Il faut maîtriser le passage de la forme récurrente à la forme explicite ($u_n$ en fonction de $n$), puis remonter à $p_n$.
• L'interprétation : Le calcul de la limite est simple (car la raison est comprise entre -1 et 1), mais l'élève doit savoir interpréter ce résultat concret : vers quelle probabilité de réussite l'athlète tend-il à long terme ?

Partie B : Loi Binomiale

Changement de modèle : les épreuves deviennent indépendantes. On passe sur une loi binomiale (répétition de succès/échec). Les questions portent sur l'espérance ou le calcul de probabilités cumulées ($P(X \ge k)$). La calculatrice est ici votre meilleure alliée, mais la justification des paramètres $(n, p)$ est obligatoire.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace

Cet exercice de géométrie est particulièrement intéressant car il ne se contente pas de calculs de coordonnées, il intègre une dimension d'optimisation via une fonction.

• Positions relatives : L'exercice commence par l'étude classique de deux plans. Sont-ils parallèles ? Sécants ? L'observation des vecteurs normaux (non colinéaires ici) suffit à répondre.
• Intersection Plan/Plan : Démonter qu'une droite $\mathcal{D}$ donnée est l'intersection de deux plans demande de la méthode : il faut vérifier que l'équation paramétrique de la droite satisfait les équations cartésiennes des deux plans simultanément.
• Minimisation de distance : C'est l'originalité du sujet. Au lieu de demander directement la distance d'un point à une droite, l'énoncé introduit une fonction $f(t) = AM^2$. L'élève doit étudier ce trinôme du second degré pour trouver son minimum.
• Lien Géométrique : La dernière question fait le lien entre ce minimum algébrique et la géométrie : le point qui minimise la distance correspond au projeté orthogonal. Il faut donc prouver l'orthogonalité via le produit scalaire.

Exercice 3 : Étude de Fonctions et Convexité

L'exercice 3 est divisé en une partie lecture graphique et une partie calculatoire utilisant l'exponentielle.

Partie A : Lecture Graphique

L'élève doit identifier trois courbes : $f$, $f'$ et $f''$. C'est un test de compréhension des liens entre une fonction et ses dérivées.

• La logique à avoir : Si $f$ est croissante, $f'$ doit être positive. Si $f$ est convexe, $f''$ doit être positive (ou $f'$ croissante). Il faut procéder par élimination et cohérence.
• Points d'inflexion : Savoir repérer graphiquement où la courbe change de concavité (ou où $f''$ s'annule en changeant de signe).

Partie B : Fonction Logistique

On étudie une fonction du type $g(x) = \frac{C}{1+e^{-kx}}$. C'est un modèle de croissance logistique très fréquent.

• Limites et Asymptotes : Étude classique des limites en $\pm \infty$ impliquant l'exponentielle.
• Dérivée et Calcul Formel : L'énoncé donne le résultat de la dérivée seconde via un logiciel de calcul formel. L'élève n'a pas à la calculer, mais à l'utiliser pour prouver la présence d'un point d'inflexion. C'est une compétence d'analyse critique des données : savoir lire un tableau de variation de $g''$ pour conclure sur la convexité de $g$.

Exercice 4 : Vrai/Faux et Algorithmique

Ce dernier exercice teste la culture mathématique générale et la logique.

• Suites (Bornée vs Convergente) : Attention au piège classique ! L'affirmation "Toute suite bornée est convergente" est fausse. L'élève doit être capable de sortir un contre-exemple célèbre (comme $(-1)^n$).
• Logarithme et Convexité : Il s'agit de tester la convexité d'une fonction composée $\ln(u(x))$. Cela nécessite de calculer la dérivée seconde et d'étudier son signe sur un intervalle précis.
• Algorithmique (Python) : On présente un algorithme de recherche de maximum dans une liste. L'originalité ici est que la liste contient des doublons et des zéros. L'élève doit tracer l'exécution du code pas à pas ("trace d'exécution") pour prédire la valeur renvoyée. C'est un exercice de lecture de code pur, sans écriture requise.

Conclusion

Ce sujet Polynésie 2023 est un excellent indicateur de niveau. Il ne comporte pas de difficulté technique insurmontable mais sanctionne immédiatement le manque de rigueur dans les justifications (notamment en géométrie et sur les suites). Réussir ce sujet garantit une base solide pour l'épreuve finale.