Analyse Complète du Sujet Bac Maths Spécialité - Asie 2025 (Sujet 2)

La session du Baccalauréat 2025 pour la zone Asie offre, comme chaque année, un aperçu précieux des tendances pour l'épreuve de métropole. Ce sujet 2, daté du 12 juin 2025, est particulièrement équilibré et couvre les quatre grands piliers du programme de Terminale : les Probabilités, les Suites Numériques (avec Python), la Géométrie dans l'espace et l'Analyse de Fonctions (avec équations différentielles et intégration). Voici une analyse détaillée et pédagogique pour optimiser vos révisions.

Exercice 1 : Probabilités et Santé Publique (5 points)

Cet exercice ancre les mathématiques dans le réel avec une étude sur le dépistage du virus chikungunya. Il est divisé en trois parties classiques.

• Partie A (Arbres et Bayes) : L'élève doit construire un arbre pondéré modélisant la sensibilité et la spécificité d'un test médical. La difficulté réside souvent dans le calcul de la probabilité inverse (ou probabilité de la cause) : Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit malade ? C'est une application directe de la formule de Bayes via la définition des probabilités conditionnelles.
• Partie B (Généralisation) : Ici, on introduit une variable $p$ représentant la prévalence du virus. L'exercice demande de manipuler des expressions littérales pour exprimer $P_T(M)$. C'est un test de compétence algébrique : il faut savoir simplifier des fractions rationnelles et résoudre des inéquations pour déterminer le seuil de fiabilité.
• Partie C (Loi Binomiale) : Un classique absolu. On cherche la taille de l'échantillon $n$ pour qu'au moins une personne soit infectée avec une probabilité de 0,99. La méthode repose sur l'évènement contraire (aucun infecté) et la résolution d'une inéquation faisant intervenir les logarithmes ($\ln$).

Exercice 2 : Suites Numériques et Algorithmique (5 points)

Cet exercice mêle suites arithmético-géométriques et programmation Python.

• Analyse Mathématique : La suite $(u_n)$ est classique. On passe par une suite auxiliaire $(v_n)$ géométrique pour trouver la forme explicite. Aucune surprise majeure ici, mais la rigueur de la rédaction est primordiale.
• Le Piège Python : La partie B introduit une seconde suite $(w_n)$ couplée à $(u_n)$. La question sur la fonction Python est subtile. Dans l'algorithme proposé, la variable U est mise à jour avant d'être utilisée dans le calcul de W. Or, la définition mathématique demande d'utiliser $u_n$ pour calculer $w_{n+1}$, et non $u_{n+1}$. L'élève doit identifier cette erreur de séquençage des instructions.
• Raisonnement par récurrence et Limites : La fin de l'exercice demande une démonstration par récurrence un peu technique, suivie d'une application du théorème des gendarmes (ou d'encadrement) pour prouver la convergence de la suite, en utilisant une inégalité donnée.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Le format "Vrai ou Faux avec justification" est exigeant car il ne pardonne pas les approximations. Le candidat doit mobiliser l'ensemble de ses connaissances vectorielles.

• Orthogonalité Droite/Plan : Il ne suffit pas de dire "ça se ressemble". Il faut vérifier la colinéarité entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan.
• Calcul d'angles : L'utilisation du produit scalaire est attendue ici ($\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'$ et la formule avec les normes et le cosinus).
• Intersection de Plans : L'affirmation propose une droite paramétrique. La méthode la plus efficace consiste à injecter les coordonnées paramétriques de la droite proposée dans les équations cartésiennes des deux plans pour vérifier si elles sont satisfaites simultanément.
• Projection Orthogonale : Deux conditions à vérifier : le point doit appartenir à la droite, et le vecteur formé avec le point d'origine doit être orthogonal au vecteur directeur de la droite.

Exercice 4 : Fonctions, Équations Différentielles et Intégration (5 points)

Un exercice de modélisation chimique très complet.

• Lecture Graphique et Équations Différentielles : Le début demande de lier l'équation différentielle $y' + 0,5y = 60e^{-0,5t}$ aux paramètres de la fonction. C'est un test de compréhension du lien entre fonction et dérivée.
• Étude de Fonction : Calcul de dérivée avec la forme $(uv)'$, étude du signe (attention au facteur exponentiel toujours positif), et application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour trouver la solution unique $\\alpha$.
• Intégration par Parties (IPP) : Le point culminant de l'exercice. Pour calculer la valeur moyenne de la température, l'élève doit intégrer une fonction de la forme $(at+b)e^{kt}$. L'intégration par parties est incontournable ici. C'est une compétence technique qui discrimine souvent les très bonnes copies.

Bilan et Conseils

Ce sujet Asie 2025 est un excellent entraînement. Il n'y a pas de difficulté conceptuelle majeure, mais le sujet exige une maîtrise technique parfaite (calcul sur les fractions, logarithmes, dérivées, IPP). Pour réussir, ne négligez pas la rédaction, notamment dans l'exercice de géométrie (Vrai/Faux) et pour la récurrence.