Analyse du Sujet de Bac Spécialité Mathématiques - Polynésie 2025 (J1)

Le 17 juin 2025, les élèves de Polynésie ont ouvert le bal des épreuves du Baccalauréat avec ce Sujet 1. Ce document est une excellente ressource pour comprendre les attentes du ministère pour la session 2025. Il se distingue par un équilibre classique entre probabilités, géométrie et analyse, mais intègre des questions de réflexion fine, notamment sur les inégalités de concentration et l'algorithmique.

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour vous aider à comprendre la philosophie du sujet et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Probabilités et Statistiques (5 points)

Cet exercice ancre les mathématiques dans le réel avec une étude sur les allergies alimentaires aux États-Unis. Il balaie trois thèmes majeurs du programme de probabilités.

• Partie A : Probabilités conditionnelles
  C'est l'entrée en matière classique. L'élève doit modéliser la situation (Zone Rurale vs Urbaine) par un arbre pondéré. La difficulté est faible, mais exige une rigueur rédactionnelle parfaite, notamment pour l'utilisation de la formule des probabilités totales. Attention aux arrondis demandés ($10^{-4}$).
• Partie B : Loi Binomiale
  On passe à la répétition d'épreuves indépendantes (échantillon de 100 enfants). L'identification des paramètres $n$ et $p$ est cruciale. La question sur $P(X \ge 10)$ nécessite une bonne maîtrise de la calculatrice, car le calcul manuel est impossible.
• Partie C : Sommes de variables et Concentration
  C'est la partie la plus technique. On étudie une variable $M_{20}$ (la moyenne empirique). Les élèves doivent savoir manipuler l'espérance et la variance d'une somme ($E(aX) = aE(X)$ et $V(aX) = a^2V(X)$). La dernière question fait appel à l'inégalité de concentration (ou Bienaymé-Tchebychev selon les formulations du cours), pour justifier une probabilité sur un intervalle. C'est un test de compréhension théorique important.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice de modélisation de trajectoires aériennes. Le contexte est concret : éviter une collision.

• Les compétences clés : L'exercice demande de jongler entre représentation paramétrique de droite (pour les avions) et équation cartésienne de plan.
• Le piège de la collision : À la question 2.b, l'élève doit vérifier si les droites sont sécantes. Cela revient à résoudre un système paramétrique. Si le système n'a pas de solution, il n'y a pas de collision physique aux mêmes coordonnées.
• Distance et Orthogonalité : La partie 3 fait construire un plan $P_E$ perpendiculaire à la trajectoire. C'est une méthode classique pour calculer la distance d'un point à une droite (ici la distance minimale entre les trajectoires).
• Unités et Conversion : Attention à la dernière question ! La distance de sécurité est donnée en milles nautiques, alors que le repère est en kilomètres (ou mètres selon le contexte). Une conversion est nécessaire ($1 \text{ mille} = 1852 \text{ m}$). L'oubli de cette conversion est un piège fréquent.

Exercice 3 : Analyse - Fonctions et Suites d'Intégrales (5 points)

C'est le "gros morceau" d'analyse du sujet, portant sur la famille de fonctions $f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{-x}$.

• Partie A : Étude de fonction
  Calcul de dérivée avec la règle du produit $(uv)'$. L'étude du signe de $f'_n(x)$ permet de dresser le tableau de variations. La présence du paramètre $n$ ne doit pas déstabiliser l'élève : $n$ est une constante pour la dérivation par rapport à $x$.
• Partie B : Suite d'intégrales $I_n$
  Cette partie est très riche. Elle commence par une interprétation graphique (aire sous la courbe) et une conjecture de limite.
• Démonstrations exigeantes :
  L'élève doit démontrer la décroissance de la suite $I_n$ par encadrement de la fonction sous l'intégrale ($x^{n+1} \le x^n$ sur $[0;1]$). La convergence découle du théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée par 0).
• Intégration par parties (IPP) : La relation de récurrence $I_{n+1} = (n+1)I_n - 1/\mathrm{e}$ se démontre via une IPP. C'est un classique absolu du Bac.
• Raisonnement par l'absurde : La question 6 demande de prouver que la limite est nulle. La méthode suggérée (supposer $\ell > 0$ et trouver une contradiction dans la relation de récurrence) est un excellent test de logique mathématique.
• Algorithmique : Le script Python implémente simplement la relation de récurrence trouvée précédemment. Il faut comprendre que la liste `L` stocke toutes les valeurs successives des intégrales.

Exercice 4 : Vrai / Faux (5 points)

Cinq questions indépendantes balayant le reste du programme. Rappelons que la justification est obligatoire.

• 1. Équations Différentielles : Une équation linéaire du premier ordre $y' = ay + b$. Il suffit de connaître la formule de la solution générale $k\mathrm{e}^{ax} - b/a$.
• 2. Combinatoire : Problème de choix d'équipe (combinaisons). Attention, l'ordre ne compte pas ici (ce sont des combinaisons, pas des arrangements). Le calcul est $\binom{18}{3} \times \binom{14}{3}$.
• 3. Limites de suites : La suite $v_n$ fait intervenir un cosinus. Le réflexe doit être le théorème de comparaison (ou d'encadrement). Comme le dénominateur est borné et que le numérateur tend vers l'infini, la divergence est attendue.
• 4. Produit Scalaire : Calcul basique de produit scalaire et déduction d'angle géométrique via la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\alpha)$.
• 5. Convexité : On donne la dérivée seconde $h''(x) = x \ln x - 3x$. La convexité dépend du signe de $h''$. Il faut résoudre l'inéquation $x(\ln x - 3) \ge 0$ sur l'intervalle donné.

Bilan

Ce sujet de Polynésie 2025 est équilibré et complet. Il valorise les élèves ayant une bonne maîtrise technique (calcul d'intégrales, dérivées, produit scalaire) mais aussi ceux capables de prendre du recul sur des notions abstraites comme la convergence de suites d'intégrales ou les inégalités de concentration probabilistes.