Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths - Nouvelle-Calédonie Octobre 2022 (Sujet 1)

Le sujet de mathématiques de la session de rattrapage d'octobre 2022 en Nouvelle-Calédonie est un excellent support de révision pour tout élève de Terminale. Il balaie de manière équilibrée les quatre piliers du programme : Analyse de fonctions, Suites numériques, Géométrie dans l'espace et Probabilités. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les enjeux et les méthodes attendues.

Exercice 1 : Étude de Fonction, Logarithme et Convexité (7 points)

Cet exercice est un grand classique de l'analyse. Il propose d'étudier une fonction $f$ mêlant un polynôme du second degré et une fonction logarithme népérien : $f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x)$.

• Les notions clés : Calcul de limites (notamment en 0 avec une asymptote verticale), dérivation, étude du signe via une factorisation, et le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour l'existence de solutions uniques.
• La nouveauté/difficulté : La partie sur la convexité est particulièrement poussée. On ne vous demande pas seulement de calculer la dérivée seconde, mais d'interpréter géométriquement la position de la courbe par rapport à une corde (segment reliant deux points de la courbe). C'est une application directe de la définition de la convexité qu'il faut savoir rédiger proprement.
• Le conseil du prof : Pour la limite en $0$, attention à bien justifier que $\ln(x)$ l'emporte vers $-\infty$. Pour la convexité, rappelez-vous qu'une fonction convexe est située "en dessous" de ses cordes.

Exercice 2 : Suites, Exponentielles et Python (7 points)

Cet exercice lie intimement l'étude d'une fonction avec exponentielle $f(x) = x^3 e^x$ et une suite récurrente définie par $u_{n+1} = f(u_n)$.

• Analyse de code : L'exercice débute par une lecture de script Python. Il faut être capable de simuler une boucle "for" à la main pour trouver le résultat de la fonction.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'exercice. Il faut démontrer l'encadrement $-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0$. Cela nécessite une parfaite maîtrise du tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1 ; 0]$.
• Théorème du point fixe : La fin de l'exercice porte sur la convergence de la suite vers une limite $\ell$ solution de $f(x)=x$. C'est une conclusion standard pour les suites convergentes de ce type.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace "contextualisée" (7 points)

L'exercice propose une modélisation concrète : une maison composée d'un pavé droit et d'un prisme. Bien que le contexte semble complexe, il s'agit avant tout de géométrie analytique pure dans un repère orthonormé.

• Repérage : Le sujet impose un repère $(\text{A}; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. La première étape cruciale est de déterminer les coordonnées des sommets sans erreur.
• Produit scalaire et équations de plans : On teste ici votre capacité à trouver une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal fourni.
• Intersection Droite/Plan : La dernière partie demande de modéliser une tranchée par une droite (représentation paramétrique) et de trouver son intersection avec un plan. C'est un problème de résolution de système d'équations linéaires.
• Le piège : Ne pas se laisser distraire par le vocabulaire "maison", "tranchée", "relais". Traduisez tout immédiatement en termes mathématiques (points, droites, plans).

Exercice 4 : QCM de Probabilités (7 points)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples couvrant les probabilités conditionnelles et la loi binomiale.

• Arbres et formules : La première partie analyse une transmission binaire avec erreurs (0 devient 1 et inversement). Un arbre pondéré est indispensable pour visualiser les probabilités conditionnelles et utiliser la formule des probabilités totales.
• Loi Binomiale : La seconde partie traite de répétitions indépendantes (transmission d'octets). Il faut reconnaître un schéma de Bernoulli et appliquer la loi binomiale $B(n, p)$.
• Calcul de seuil : La dernière question demande de trouver une valeur $N_0$ pour atteindre une certaine probabilité. Cela se résout souvent par tatonnement (à la calculatrice) ou par l'usage des logarithmes sur l'inéquation $P(X=N) \geqslant 0,1$.

Conclusion

Ce sujet de Nouvelle-Calédonie 2022 est un "sujet type" parfait pour s'évaluer. Il demande de la rigueur sur les calculs de dérivées, une bonne rédaction pour la récurrence et la convexité, et de l'agilité pour passer du contexte concret aux équations en géométrie.