Introduction au Sujet Métropole 11 Mai 2022 (Sujet 1)

Le sujet du baccalauréat de spécialité mathématiques tombé en Métropole le 11 mai 2022 est un excellent support d'entraînement. Il couvre de manière équilibrée les piliers du programme de Terminale : l'analyse (fonctions et suites), la géométrie dans l'espace et les probabilités. C'est un sujet que l'on pourrait qualifier de "classique" mais qui demande une rédaction rigoureuse, notamment sur les questions de modélisation.

Le candidat doit choisir 3 exercices parmi les 4 proposés. Voici une analyse détaillée des enjeux et des pièges pour chaque exercice.

Exercice 1 : Fonctions et Suites (Le modèle Pharmaceutique)

Cet exercice est un incontournable. Il se découpe en deux parties indépendantes qui modélisent l'évolution d'une quantité de médicament. C'est le type même d'exercice "contextualisé".

• Partie A (Analyse pure) : On étudie une fonction de la forme $f(t) = 3te^{-0,5t+1}$. La difficulté réside ici dans la dérivation du produit $u \times v$. Il faut être très à l'aise avec la dérivée de $\text{e}^{u(t)}$. L'étude des variations est classique, mais la question sur l'équation $f(t) = 5$ requiert une application impeccable du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI). Attention aux arrondis demandés (minutes vs heures).
• Partie B (Suites) : On change de modèle pour une suite arithmético-géométrique ($u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$). Les compétences testées sont standards : démonstration par récurrence (pour l'inégalité et la monotonie), théorème de convergence monotone, et passage par une suite auxiliaire géométrique pour trouver la forme explicite. La dernière question demande de résoudre une inéquation avec des logarithmes pour trouver un seuil $n$.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (Droites, Plans et Projections)

Un exercice très géométrique qui plaira aux élèves ayant une bonne vision dans l'espace. Il n'y a pas de QCM ici, mais des constructions analytiques.

• Les fondamentaux : On commence doucement avec des représentations paramétriques de droites et la vérification de l'appartenance d'un point.
• Le cœur du problème : L'exercice tourne autour de la notion de projection orthogonale d'un point sur une droite. Deux méthodes sont abordées pour trouver les coordonnées du projeté H : l'une via l'intersection d'un plan orthogonal et de la droite, l'autre via la colinéarité vectorielle et le produit scalaire. C'est une excellente révision des différentes façons de caractériser l'orthogonalité.
• Calculs de volume : La fin de l'exercice lie le volume d'un tétraèdre à l'aire d'une base. Il faut être capable de manipuler les formules de volume dans les deux sens (calculer $V$, ou retrouver une aire à partir de $V$).

Exercice 3 : Probabilités et Python

Cet exercice mêle probabilités conditionnelles et loi binomiale, avec une petite incursion en algorithmique.

• Arbres et Conditionnelles : Le début est très standard : construction d'un arbre pondéré et utilisation de la formule des probabilités totales. Attention à bien traduire les données de l'énoncé ("parmi les femmes", etc.) pour ne pas confondre $P_F(S)$ et $P(F \cap S)$.
• Loi Binomiale : On répète une expérience de manière indépendante (échantillon assimilé à un tirage avec remise). Il faut justifier les paramètres $n=20$ et $p$.
• L'algo Python : Le script présenté calcule une somme cumulée de probabilités. Il faut comprendre que la fonction proba(k) renvoie $P(X \leqslant k)$. L'interprétation concrète du résultat est cruciale pour obtenir les points.

Exercice 4 : QCM (Fonctions Numériques)

Un QCM balayant plusieurs chapitres d'analyse. Comme toujours, même si la justification n'est pas demandée, elle est nécessaire au brouillon pour ne pas répondre au hasard.

• Analyse asymptotique : Une question sur les limites et asymptotes d'une fonction rationnelle.
• Primitives : Il faut reconnaître la forme $u'\text{e}^u$ ou savoir dériver les propositions pour retrouver la fonction de départ.
• Convexité (Le piège classique) : On donne la courbe de la dérivée $f'$ et on pose une question sur la convexité de $f$. Rappel : $f$ est convexe là où $f'$ est croissante (et non là où $f'$ est positive !). C'est le piège numéro 1 de ce type de question.
• Équation exponentielle : Une résolution demandant un changement de variable $X = \text{e}^x$ pour se ramener à du second degré.