Introduction au Sujet Polynésie 2022 (Session de Remplacement)

Le sujet de Mathématiques du Baccalauréat 2022 pour la zone Polynésie (session de remplacement d'août) est un excellent support d'entraînement pour les futurs bacheliers. Il couvre de manière équilibrée les quatre piliers du programme de Spécialité : les Probabilités conditionnelles et discrètes, l'Analyse (Suites et Fonctions) et la Géométrie dans l'espace.

Ce sujet est particulièrement intéressant car il mêle des questions très classiques (points gratuits) à des questions demandant une finesse d'analyse, notamment sur l'interprétation d'algorithmes ou la déduction d'aires géométriques.

Exercice 1 : Probabilités et Diagnostic Médical

Ce premier exercice contextualise les probabilités autour d'un test médical pour une angine. C'est un grand classique du Bac.

• Partie 1 (Probabilités conditionnelles) : L'exercice débute par la construction d'un arbre pondéré. La difficulté principale réside dans la définition de l'événement "résultat erroné". L'élève doit comprendre qu'une erreur peut être un faux positif (test positif mais pas malade) OU un faux négatif. Il faut donc calculer la somme de deux intersections : $P(A \cap \overline{T}) + P(\overline{A} \cap T)$.
• Partie 2 (Loi Binomiale) : On passe à une répétition d'épreuves (échantillon de patients). La reconnaissance de la loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est standard. La question sur la recherche de la taille de l'échantillon $n$ pour que $P(X \ge 10) > 0,95$ demande une bonne maîtrise de la calculatrice, car la résolution algébrique n'est pas attendue ici (contrairement à l'inéquation classique $1 - p^n \ge 0,95$).

Exercice 2 : Suites Numériques et Modèle Logistique

Cet exercice étudie une suite récurrente du type $u_{n+1} = k u_n (1 - u_n)$, souvent appelée suite logistique.

• Partie 1 (Étude de fonction et convergence) : Avec $k=1,9$, on commence par étudier la fonction associée $f$. Le cœur de l'exercice est la démonstration par récurrence de l'encadrement $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 1/2$. C'est un excellent test pour la rédaction : initialisation, hérédité utilisant la croissance de la fonction sur l'intervalle donné, et conclusion. La convergence se déduit du théorème de la limite monotone.
• Partie 2 (Algorithmique et suite majorée) : Le paramètre change ($k=0,5$). On admet une majoration par une suite géométrique. La question Python est subtile : il ne s'agit pas de coder, mais d'expliquer l'arrêt de la boucle while. L'élève doit faire le lien entre la convergence vers 0 de la suite et la condition d'arrêt $u > 10^{-p}$.

Exercice 3 : Fonctions, Logarithme et Convexité

Un exercice d'analyse pure divisé en deux parties liées, mettant en jeu la fonction logarithme népérien.

• Partie 1 (Fonction auxiliaire) : L'étude de $g(x) = \frac{2 \ln x}{x}$ est standard. Le calcul de dérivée et l'étude de signe sur $]0; +\infty[$ permettent d'établir le tableau de variations. Attention aux limites en $0$ et $+\infty$ (croissances comparées).
• Partie 2 (Fonction principale et primitives) : On étudie $f(x) = (\ln x)^2$. L'originalité est de remarquer que $f$ est une primitive de $g$ (puisque $f'(x) = 2 \ln(x) \times \frac{1}{x} = g(x)$). Cela simplifie l'étude de la convexité de $f$ qui revient à étudier le signe de $g'$ (déjà fait en partie 1). La dernière question utilise la position relative de la courbe par rapport à sa tangente (propriété de convexité) pour prouver une inégalité.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (Le Cube)

Un exercice très structuré dans un repère orthonormé associé à un cube.

• Approche analytique : On commence par déterminer les coordonnées de points et vérifier qu'un vecteur est normal à un plan. Cela mène à l'équation cartésienne du plan $(CFI)$.
• Projection et Distance : L'élève doit construire une représentation paramétrique de droite pour trouver le projeté orthogonal du point G sur le plan. C'est la méthode reine pour calculer la distance d'un point à un plan.
• Volume et Aire : La fin de l'exercice demande de calculer le volume d'une pyramide. Le piège classique est d'oublier le facteur $1/3$ ou de se tromper de hauteur. La déduction de l'aire du triangle $CFI$ à partir du volume est une question de synthèse intéressante : on connaît le volume, on connaît la hauteur (distance calculée précédemment), on isole l'aire de la base dans la formule $V = \frac{1}{3} \times B \times h$.