Analyse du Sujet Bac Maths 2025 - Centres Étrangers (Europe)

Le 12 juin 2025, les candidats des centres étrangers (Europe) ont ouvert le bal des épreuves du Baccalauréat Spécialité Mathématiques. Ce sujet 1 est particulièrement équilibré, couvrant les quatre grands piliers du programme de Terminale : les probabilités (avec une touche de statistiques avancées), la géométrie dans l'espace, l'analyse de fonctions couplée aux suites, et les équations différentielles.

Voici une analyse détaillée et pédagogique pour vous aider à comprendre les attentes et les subtilités de cette épreuve.

Exercice 1 : Probabilités et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Le premier exercice ancre les mathématiques dans le réel avec une situation de contrôle en caisse automatique. C'est un exercice classique dans sa structure mais qui se termine par une notion souvent redoutée.

• Partie A (Conditionnement) : L'arbre pondéré est la première étape indispensable. La difficulté réside souvent dans la lecture de l'énoncé pour bien identifier les probabilités conditionnelles (ex: "sachant qu'une erreur a été détectée"). La question 3 demande d'inverser le conditionnement (Probabilité de la cause), une application typique de la formule de Bayes.
• Partie B (Loi Binomiale) : On modélise le nombre d'erreurs par une loi binomiale. Les questions sont standards : calcul de probabilité ponctuelle $P(X=k)$ et calcul de probabilité cumulée (au moins une erreur). La dernière question demande de résoudre une inéquation faisant intervenir des logarithmes pour trouver la taille de l'échantillon $n$.
• Partie C (Somme de variables et Bienaymé-Tchebychev) : C'est la partie discriminante. On additionne trois variables aléatoires indépendantes. L'élève doit savoir que l'espérance est linéaire ($E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)$) et que, par indépendance, les variances s'ajoutent. L'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est explicite : elle permet de minorer une probabilité sans connaître la loi de probabilité de la somme $S$. C'est un point du programme souvent survolé mais ici central.

Exercice 2 : QCM de Géométrie dans l'Espace

Un exercice rapide (4 points) mais piégeux. L'absence de justification demandée ne dispense pas de faire des calculs au brouillon.

• Positions relatives : Il faut tester l'intersection de droites et l'orthogonalité. Attention à ne pas confondre vecteurs directeurs et vecteurs normaux aux plans.
• Calculs d'angles : La méthode royale ici est le produit scalaire. En calculant $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ de deux façons (analytique et géométrique avec le cosinus), on isole l'angle cherché.

Exercice 3 : Étude de Fonction et Suites Numériques

Un grand classique du Bac, mêlant logarithme népérien et suites récurrentes.

• Partie A (Analyse) : La fonction $f(x) = 4\ln(x + 1) - \frac{x^2}{25}$ demande de la rigueur sur les ensembles de définition et de dérivation. L'étude des variations prépare le terrain pour le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) appliqué à la fonction $h(x) = f(x) - x$. La présence d'un script Python demande de comprendre un algorithme de recherche de solution (type balayage ou dichotomie) pour encadrer la solution $\alpha$.
• Partie B (Suites) : On étudie la suite $u_{n+1} = f(u_n)$. La récurrence pour montrer que la suite est bornée et croissante est indispensable pour prouver la convergence. Le point clé est de faire le lien avec la Partie A : la limite de la suite est le point fixe de la fonction $f$, c'est-à-dire la solution $\alpha$ de $f(x) = x$.

Exercice 4 : Équations Différentielles et Modèle Logistique

Cet exercice de modélisation (évolution d'une population de bactéries) utilise le modèle de Verhulst (logistique).

• Partie A (Équa diff linéaire) : Résolution classique de $y' + ay = b$. Il faut connaître la structure de la solution : solution générale de l'homogène + solution particulière constante.
• Partie B (Changement de variable) : C'est la subtilité de l'exercice. On passe d'une équation non linéaire ($E_2$) à une linéaire ($E_1$) en posant $y = 1/p$. L'élève doit dériver $y = 1/p$ proprement ($y' = -p'/p^2$) pour effectuer la substitution. L'interprétation de la limite en $+\infty$ correspond à la capacité d'accueil du milieu (saturation de la population).