Introduction : Un Sujet Équilibré et Classique

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques des Centres Étrangers (Sujet 2) du 12 mai 2022 est un excellent support d'entraînement pour l'épreuve finale. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme de Terminale sans présenter de difficultés techniques insurmontables, mais demande une grande rigueur dans la rédaction et la justification.

Contrairement à certains sujets « exotiques », celui-ci reste très fidèle aux attentes académiques standard. Il permet de vérifier la maîtrise des fondamentaux : lecture graphique de la convexité, étude de fonction logarithme couplée à une suite, géométrie vectorielle dans l'espace et modélisation probabiliste avec une variable inconnue.

Exercice 1 : QCM (Fonction Exponentielle et Convexité)

Ce QCM de 7 points balaie large autour de la fonction exponentielle et de l'analyse fonctionnelle. C'est un exercice de rapidité et de précision.

• Dérivation et Primitives : Les questions 1, 3 et 5 testent votre capacité à manipuler algébriquement l'exponentielle. Attention aux formes $\frac{u}{v}$ et aux composées $e^u$. Pour les primitives, l'astuce consiste souvent à dériver les propositions pour retrouver la fonction de départ si l'intuition ne suffit pas.
• Lecture Graphique et Convexité : Les questions 2 et 6 sont les plus conceptuelles. Il s'agit de ne pas confondre le sens de variation de $f$, le signe de $f'$ et le signe de $f''$. Rappelez-vous : si la courbe de $f''$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $f$ est convexe.
• Limites : La question 4 présente une forme indéterminée classique en $+\infty$. La factorisation par le terme dominant ($e^x$) est la clé pour lever l'indétermination.

Exercice 2 : Logarithme et Suites (Le « Classique »)

Cet exercice est l'archétype du problème d'analyse au Bac. Il mêle l'étude d'une fonction $f(x) = x\ln(x) + 1$ à l'étude d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$.

• Étude de fonction : La limite en 0 demande de connaître la croissance comparée (ou la limite usuelle $x\ln(x)$). L'étude des variations via la dérivée permet d'établir un intervalle stable $]0; 1[$, crucial pour la suite.
• Convexité et Tangente : L'étude de la position relative de la courbe par rapport à sa tangente (Question 3) est une application directe de la convexité. C'est cette position relative qui permet souvent de prouver l'inégalité $f(x) \ge x$.
• Convergence de la suite : La deuxième partie est très procédurale. Vous devez dérouler le raisonnement par récurrence pour l'encadrement, utiliser le sens de variation de $f$ (ou l'inégalité précédente) pour la monotonie, et enfin utiliser le théorème de convergence monotone.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace

Un exercice très complet qui demande de jongler entre vision géométrique et calcul vectoriel.

• Produit Scalaire et Orthogonalité : L'objectif est de calculer le volume d'un tétraèdre. Pour cela, il faut identifier une hauteur. L'exercice guide l'élève pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan (en vérifiant l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan).
• Projeté Orthogonal : La question 3 introduit un point H et demande de prouver qu'il est le projeté orthogonal. C'est une question discriminante : il faut montrer que le vecteur associé est normal au plan et que le point appartient bien au plan.
• Lien Volume / Aire / Hauteur : La dernière question est astucieuse. Elle demande de déduire une aire à partir du volume calculé précédemment. C'est un renversement de la formule $V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$.

Exercice 4 : Probabilités et Optimisation

C'est sans doute l'exercice le plus original du sujet, mêlant probabilités et résolution d'inéquations du second degré.

• Arbre et Variable Aléatoire : Le début est standard (tirage avec remise, loi de probabilité).
• Modélisation avec inconnue $N$ : La difficulté réside dans la partie 2. Le nombre de boules noires devient une inconnue $x$ (ou $N$). L'espérance mathématique devient alors une fonction de $x$.
• Optimisation : On vous demande quand le jeu est favorable (Espérance > 0). Cela ramène le problème probabiliste à la résolution d'un trinôme du second degré $-x^2 + 30x - 81 > 0$.
• Loi Binomiale : La dernière partie revient sur une répétition d'épreuves (Bernoulli) pour calculer une probabilité « au moins un gagnant », ce qui se traite classiquement par l'événement contraire $1 - P(X=0)$.