Analyse Complète du Sujet Bac Maths 2025 - Amérique du Nord (Sujet 2)

L'épreuve de spécialité Mathématiques du Baccalauréat est un moment décisif. Le sujet Amérique du Nord 2025 (Sujet 2) s'inscrit dans la lignée des épreuves exigeantes et complètes, balayant une grande partie du programme de Terminale. Que vous soyez en pleine révision ou que vous cherchiez à évaluer votre niveau, ce sujet est un excellent terrain d'entraînement. En tant que professeur, je vous propose une plongée détaillée dans la philosophie de cette épreuve, exercice par exercice, pour comprendre les attentes des correcteurs, déjouer les pièges et maîtriser les compétences évaluées.

Contexte de l'épreuve : Un sujet équilibré et discriminant

Ce sujet de Bac Maths 2025 de la zone Amérique du Nord se divise en quatre exercices de 5 points chacun. Il balaie brillamment les probabilités (avec une incursion vers l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev), l'analyse (suites, logarithme népérien, convexité, intégration par parties), la géométrie dans l'espace sous forme d'un vrai/faux, et enfin la programmation Python appliquée aux mathématiques. L'objectif n'est pas seulement de tester le calcul brut, mais de vérifier la capacité de l'élève à modéliser, justifier rigoureusement et tisser des liens entre différents domaines mathématiques.

Exercice 1 : Probabilités, Loi Binomiale et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (5 points)

Cet exercice est habillé d'un contexte sportif (le basket-ball) très classique pour introduire des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires.

• Partie A - Les fondements de la loi binomiale : On commence par une situation binaire (réussir ou rater un lancer à 3 points). La justification des paramètres de la loi binomiale ($n=15$ et $p=0,32$) nécessite de rappeler que l'on répète des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les questions d'espérance ($E(N) = np$) et de transformation affine de la variable aléatoire ($T$ représentant le score en points) sont des classiques qu'il faut traiter avec rapidité et précision. Le piège ici serait de s'emmêler les pinceaux entre le nombre de lancers réussis et les points rapportés par ces lancers.
• Partie B - La somme de variables et Bienaymé-Tchebychev : C'est ici que l'exercice devient particulièrement intéressant (et sélectif). On introduit la moyenne empirique $M_n$. L'élève doit mobiliser ses connaissances sur la linéarité de l'espérance et les propriétés de la variance pour des variables indépendantes (notamment $V(M_n) = \frac{V(X)}{n}$). L'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer $P(|M_{50}-22| \ge 3)$ est une compétence souvent redoutée par les lycéens. La clé est d'identifier l'écartement par rapport à l'espérance et d'appliquer la formule brute avant d'interpréter le résultat. La dernière question demande une réflexion sur la limite de cette probabilité quand $n$ tend vers l'infini.

Exercice 2 : Suites récurrentes, Logarithme (Méthode de Briggs) et Python (5 points)

Un exercice magnifique d'un point de vue historique et mathématique, visant à approcher la valeur de $\ln(2)$ en utilisant des extractions de racines carrées successives.

• Partie A - Étude de la suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ : La récurrence est le maître mot ici. Démontrer que la suite est minorée par 1 et décroissante est un grand classique. La convergence découle directement du théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge). La résolution de l'équation $\sqrt{x} = x$ sur $[0 ; +\infty[$ permet de conclure que la limite est 1. La rédaction doit être impeccable, notamment en justifiant la continuité de la fonction racine carrée.
• Partie B - Linéarisation via le Logarithme et Python : En posant $v_n = \ln(u_n)$, on transforme la relation d'ordre multiplicatif (racine) en une relation additive (suite géométrique de raison $1/2$). C'est une astuce fondamentale en analyse. L'utilisation de l'approximation affine de $\ln(x)$ au voisinage de 1 (tangente d'équation $y = x - 1$) permet de comprendre le cœur de la méthode de Briggs. Enfin, l'algorithme Python vient couronner le tout. Il s'agit d'une boucle while (tant que) qui compte le nombre d'itérations nécessaires pour que $a$ rentre dans l'intervalle cible. C'est une excellente évaluation de la pensée algorithmique.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace - Le Vrai/Faux (5 points)

Le format Vrai/Faux avec justification est toujours un défi. Une simple intuition ne suffit pas ; il faut prouver, soit par une démonstration générale si c'est vrai, soit par un contre-exemple si c'est faux.

• Partie A - Dans le Cube : On teste ici la maîtrise intrinsèque des vecteurs sans nécessairement passer par les coordonnées. L'utilisation de la relation de Chasles pour l'Affirmation 1 est primordiale. Pour qu'un triplet forme une base de l'espace (Affirmation 2), il faut s'assurer que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires. Quant au produit scalaire (Affirmation 3), le choix d'un repère orthonormé adapté (par exemple $(A ; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$) est souvent la stratégie la plus sûre et la plus rapide en Terminale.
• Partie B - Dans un repère orthonormé : Cette partie évalue le triptyque : plans, droites, distances. On y croise les équations cartésiennes de plans (vecteur normal), la vérification du parallélisme (colinéarité des vecteurs normaux ou orthogonalité avec un vecteur directeur de droite), et la fameuse formule de la distance d'un point à un plan. L'Affirmation 7 sur le caractère coplanaire de deux droites exige de vérifier si elles sont sécantes ou parallèles. C'est un exercice complet qui récompense les élèves connaissant leurs formules sur le bout des doigts.

Exercice 4 : Fonctions trigonométriques, Convexité et Intégration (5 points)

Le dernier exercice est un monument de l'analyse, mêlant exponentielle et fonctions trigonométriques.

• Partie A - Étude de fonction : La fonction $f(x) = e^x \sin(x)$ demande une maîtrise parfaite des formules de dérivation d'un produit. Le signe de $f'(x)$ sur $[0 ; \pi/2]$ est aisé car le sinus et le cosinus y sont positifs. La recherche de la tangente en 0 et l'étude de la convexité amènent naturellement à démontrer une inégalité fonctionnelle ($e^x \sin(x) \ge x$) via la position relative de la courbe et de sa tangente. La notion de point d'inflexion (changement de convexité, annulation de la dérivée seconde en changeant de signe) est subtilement évaluée.
• Partie B - Double Intégration par parties et calcul d'aire : C'est la cerise sur le gâteau. Trouver la primitive de $e^x \sin(x)$ est impossible directement. L'exercice guide l'élève vers une double intégration par parties (IPP), créant un système d'équations avec les intégrales $I$ et $J$. Une fois la relation établie ($I = 1+J$ et $I = e^{\pi/2} - J$), on déduit la valeur exacte de l'intégrale. La conclusion de l'exercice demande de calculer l'aire entre la courbe $C_f$ et la droite d'équation $y=x$, ce qui mobilise le résultat de la Partie A (pour justifier que $f(x) - x \ge 0$) et le calcul de $I$ de la Partie B.

Conclusion : Comment réussir ce type de sujet ?

Ce sujet Amérique du Nord 2025 est la définition même d'un bon sujet de Bac de Spécialité Mathématiques : il n'y a pas de piège vicieux, mais il exige une endurance mathématique et une rédaction irréprochable. Pour exceller, il est impératif de bien connaître ses théorèmes (limite monotone, Bienaymé-Tchebychev), de maîtriser les outils calculatoires (dérivation, intégration par parties) et de savoir organiser son raisonnement (Vrai/Faux en géométrie). Travaillez ce sujet en temps limité (4 heures) pour vous habituer à la gestion de la fatigue et du stress. Bonnes révisions !