Compétences et clés de réussite
L'exercice 1 du baccalauréat de mathématiques, épreuve des Antilles 2026 (Sujet 1), s'articule autour des concepts fondamentaux des probabilités et des variables aléatoires. C'est un exercice classique qui évalue la capacité des candidats à modéliser une situation concrète (ici, le contrôle de réacteurs d'un parc nucléaire) à l'aide d'outils probabilistes. Il se divise en deux parties complémentaires : l'étude d'un arbre de probabilité et l'analyse statistique d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
Modélisation avec les arbres de probabilité
La Partie A demande une bonne maîtrise de l'arbre de probabilité. Il s'agit tout d'abord de retranscrire les données de l'énoncé de manière claire, en identifiant correctement les probabilités simples et les probabilités conditionnelles. Les compétences clés incluent :
- Construire et compléter un arbre pondéré représentant la situation.
- Appliquer la formule des probabilités composées pour déterminer l'intersection de deux événements, comme par exemple la probabilité qu'un réacteur soit en arrêt et contrôlé.
- Utiliser la formule des probabilités totales pour déduire une probabilité inconnue, en résolvant une équation du premier degré. C'est une démarche très fréquente au baccalauréat.
- Calculer une probabilité conditionnelle inversée à l'aide de la définition classique, en mobilisant les probabilités obtenues précédemment.
Variables aléatoires et paramètres statistiques
La Partie B introduit une variable aléatoire discrète qui modélise la production journalière des réacteurs. Cette section nécessite de connaître parfaitement le cours sur les lois de probabilité. Vous devrez notamment :
- Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, c'est-à-dire lister ses valeurs possibles et associer à chacune sa probabilité correspondante, tout en vérifiant que la somme des probabilités vaut 1.
- Calculer les indicateurs fondamentaux : l'espérance mathématique (qui représente la moyenne théorique attendue) et la variance (qui mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance). Connaître la formule de l'espérance et la définition usuelle ou la formule de Koenig-Huygens pour la variance est indispensable.
Somme de variables aléatoires et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
La dernière partie de l'exercice franchit un cap supplémentaire en s'intéressant à une somme de variables aléatoires indépendantes. C'est ici que les propriétés d'additivité entrent en jeu :
- Exploiter la linéarité de l'espérance et les propriétés de la variance pour des variables aléatoires indépendantes. Vous devez savoir démontrer que l'espérance et la variance d'une somme de variables indépendantes identiquement distribuées sont simplement proportionnelles au nombre de variables.
- Utiliser une inégalité de concentration. La question finale de l'exercice, cherchant à borner la probabilité d'un écart par rapport à la moyenne, fait implicitement appel à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Il faut être capable de reformuler l'encadrement demandé sous la forme d'un écart absolu par rapport à l'espérance pour appliquer le théorème.
En résumé, cet exercice requiert rigueur et méthode, tout en évaluant un éventail très complet de connaissances en probabilités. Une lecture attentive des données initiales et une maîtrise parfaite des formules du programme sont les clés pour obtenir l'intégralité des points. Pour réussir au mieux ce type d'exercice le jour du bac, il est vivement conseillé de vérifier la cohérence de vos résultats à chaque étape. Par exemple, une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1, et une variance est par définition une valeur positive. Dans le cadre de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, assurez-vous de bien interpréter la limite obtenue par rapport au seuil demandé (ici 0,80). La précision dans la justification des hypothèses, telles que l'indépendance des variables aléatoires avant d'additionner les variances, est cruciale pour éviter les pénalités et convaincre votre correcteur de la solidité de votre raisonnement mathématique.