Cet exercice, issu du Sujet 1 du Baccalauréat de Spécialité Mathématiques d'Asie 2026, se présente sous la forme classique et incontournable du questionnaire de type Vrai/Faux. Ce format est particulièrement discriminant car, comme le précise l'énoncé de manière explicite : « Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation ». Il ne suffit donc pas de deviner le résultat ou de s'en remettre à son intuition analytique : la rigueur de la démonstration, la précision du vocabulaire et la clarté des calculs sont les véritables objets de l'évaluation.

Composé de cinq affirmations indépendantes, cet exercice balaie un spectre très large du programme de Terminale, allant de l'analyse fonctionnelle aux probabilités, en passant par le calcul intégral et l'arithmétique des suites. C'est une excellente occasion pour les candidats de démontrer leur polyvalence mathématique et leur capacité à mobiliser rapidement des notions issues de différents chapitres de l'année.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir pleinement cet exercice, plusieurs compétences méthodologiques et techniques fondamentales doivent être maîtrisées.

1. Levée d'indétermination et calcul de limites

La première affirmation confronte le candidat à une limite en l'infini impliquant un quotient et une racine carrée. La méthode reine ici consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré (en l'occurrence x). Il est crucial de se rappeler du comportement de la fonction racine carrée, et particulièrement du fait que pour tout réel strictement positif, on peut extraire le terme dominant en gérant minutieusement les valeurs absolues (ici x > 0 au voisinage de plus l'infini). Une rédaction soignée des théorèmes d'opérations sur les limites est attendue.

2. Suites récurrentes et raisonnement par récurrence

La deuxième affirmation propose de vérifier si une formule explicite correspond à une suite définie par une relation de récurrence complexe. Deux approches sont possibles et tout aussi valables : démontrer l'égalité proposée par un raisonnement par récurrence rigoureux (en respectant les étapes d'initialisation, d'hérédité et de conclusion), ou procéder par vérification directe en injectant l'expression explicite de w_n dans la formule de w_{n+1}. La méthode algébrique directe est souvent plus rapide mais demande une manipulation parfaite des identités remarquables.

3. Loi binomiale et calcul algébrique

L'affirmation sur la probabilité repose sur l'identification des paramètres d'une loi binomiale et l'application de la formule de la probabilité d'un événement précis P(X = k). La clé réside dans le développement soigné de l'expression obtenue (qui utilise le coefficient binomial) et sa comparaison avec le polynôme fourni dans l'énoncé. C'est un test déguisé de calcul littéral.

4. Intégration et primitives de l'exponentielle

Dans la quatrième question, l'objectif est d'évaluer une intégrale définie paramétrée par un entier n. Le candidat doit savoir déterminer la primitive d'une fonction de la forme e^{nx}. L'erreur classique à éviter est l'oubli du facteur de normalisation lors du passage à la primitive. Il faut ensuite évaluer cette fonction entre les bornes 0 et 1 avec précision, en n'oubliant pas que e^0 = 1.

5. Modélisation et dénombrement

La dernière affirmation fait appel aux concepts de base du dénombrement. Le piège classique des coloriages de grilles est de confondre un choix d'arrangement ou de combinaisons avec un principe multiplicatif élémentaire (les listes ou p-uplets). Il faut se poser la bonne question : « Pour chacune des 16 cases, combien ai-je de choix indépendants ? ». L'utilisation du coefficient binomial est ici une fausse piste qu'il faut savoir réfuter par la logique.

En conclusion, ce sujet Vrai/Faux exige de l'adaptabilité. Le secret de la réussite réside dans la lecture attentive de chaque affirmation pour identifier immédiatement le chapitre concerné et le contre-exemple éventuel, permettant parfois d'infirmer une proposition fausse en quelques lignes seulement, plutôt que de s'engager dans de longs calculs inutiles.