Analyse du sujet et thématiques abordées

Cet exercice du Baccalauréat 2025, Métropole Sujet 1, est un problème complet de modélisation mathématique. Il traite de l'évolution de la superficie d'une algue marine (la posidonie) en comparant deux approches classiques en terminale : un modèle discret (suites numériques) et un modèle continu (équations différentielles et fonctions). Ce type d'exercice transversal permet d'évaluer la capacité des élèves à passer d'une étude séquentielle à une étude fonctionnelle.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise des suites numériques et de la récurrence

La première partie (Partie A) demande une solide compréhension des suites définies par récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Les points clés incluent :

• Le raisonnement par récurrence : Il est indispensable pour démontrer les propriétés de la suite, notamment l'encadrement $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$. Il faut être rigoureux dans l'hérédité en utilisant la croissance de la fonction associée $h$.
• Le théorème de convergence monotone : Savoir justifier qu'une suite croissante et majorée converge est un attendu fondamental.
• Calcul de limites : La limite $L$ se trouve en résolvant l'équation du point fixe $f(L) = L$.

2. Algorithmique et seuils

L'exercice intègre une question d'algorithmique en Python. Il s'agit d'un algorithme de seuil classique utilisant une boucle while. La clé est de bien identifier la condition d'arrêt (tant que la surface est inférieure à 14) et de savoir mettre à jour les variables $n$ et $u$ selon la relation de récurrence donnée.

3. Équations différentielles et changement de variable

La Partie B aborde le modèle continu via une équation différentielle logistique $y' = ay(b-y)$, non linéaire. La méthode de résolution proposée est guidée :

• Changement de fonction inconnue : L'élève doit poser $g = 1/f$ pour transformer l'équation complexe en une équation différentielle linéaire du premier ordre de type $y' = ay + b$.
• Résolution de $y' = ay + b$ : Il faut connaître par cœur la forme des solutions $C\text{e}^{ax} - \frac{b}{a}$.
• Étude de fonction : Une fois l'expression de $f(t)$ trouvée, l'exercice demande d'étudier sa limite (faisant intervenir l'exponentielle) et de résoudre une inéquation pour interpréter le modèle dans le contexte biologique (dépasser les 14 hectares).

En résumé, cet exercice 4 du Sujet 1 Métropole 2025 exige une grande rigueur dans la rédaction des démonstrations (récurrence) et une aisance manipulatoire sur les fonctions exponentielles et logarithmes pour la résolution finale.