Compétences et clés de réussite

Cet exercice 2 du sujet 1 du Baccalauréat Amérique du Sud 2024 (novembre) est un classique très complet qui balaie les notions fondamentales des probabilités discrètes. Il mobilise des savoir-faire essentiels allant de la simple lecture d'arbre pondéré à l'utilisation de la combinatoire, en passant par la loi binomiale. Voici une analyse détaillée des compétences requises pour réussir chaque partie.

Partie A : Arbre pondéré et probabilités conditionnelles

Le début de l'exercice modélise une expérience aléatoire séquentielle (tirage dans une urne U1, transfert, puis tirage dans U2). La difficulté principale réside dans la modélisation de la composition de la deuxième urne qui change selon le résultat du premier tirage.

• Construction de l'arbre : Il faut être capable de déterminer les probabilités conditionnelles sur les branches du second niveau. Par exemple, si une boule blanche a été ajoutée à U2, le nombre total de boules et le nombre de boules blanches dans U2 changent. C'est la clé pour compléter l'arbre.
• Calcul d'intersections : Savoir utiliser la formule $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ pour calculer la probabilité d'un chemin complet.
• Probabilités totales : L'exercice demande de calculer la probabilité d'un événement au second niveau de l'arbre (ici $N_2$). Il faut penser à sommer les probabilités de tous les chemins menant à cet événement.
• Probabilité inverse (Formule de Bayes) : La dernière question de cette partie demande de calculer $P_{N_2}(\overline{N_1})$. Il est impératif de revenir à la définition de la probabilité conditionnelle : $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Partie B : Répétition d'expériences et Loi Binomiale

Cette partie introduit la répétition de l'expérience de manière identique et indépendante. C'est le signal pour identifier un schéma de Bernoulli.

• Justification de la loi : Il faut préciser les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès, calculée en partie A). Ne pas oublier de mentionner l'indépendance des tirages due à la remise en configuration initiale.
• Résolution d'inéquation : La question demande de trouver le plus petit entier $n$ vérifiant une inéquation faisant intervenir des puissances ($1 - 0,72^n \geqslant 0,9$). La maîtrise des logarithmes (ln) est souvent utile ici, bien que l'utilisation de la calculatrice par tâtonnements (table de valeurs) soit généralement acceptée si la démarche est expliquée. Attention au sens de l'inégalité lorsque l'on divise par un logarithme négatif (car $\ln(0,72) < 0$).

Partie C : Dénombrement et Combinatoire

Cette dernière partie modifie l'expérience initiale en introduisant un tirage simultané de deux boules. Cela change l'outil mathématique à utiliser.

• Combinatoire : Le mot "simultanément" doit immédiatement évoquer les combinaisons (notées $\binom{n}{k}$). Il s'agit de dénombrer les tirages possibles sans ordre ni remise.
• Modélisation complexe : Il faut recalculer les probabilités de transfert pour construire un nouvel arbre (ou un raisonnement par partition). Par exemple, il faut dénombrer les cas où l'on tire "1 noire et 1 blanche", "2 noires" ou "2 blanches" pour savoir comment la composition de l'urne U2 évolue avant le tirage final.
• Comparaison : La conclusion demande de comparer la probabilité finale obtenue avec celle de la Partie A. Une rigueur dans les calculs fractionnaires est indispensable pour éviter les erreurs d'arrondi.