Analyse globale de l'exercice

Cet exercice de la session 2024 pour le groupe Centres Étrangers (Sujet 2) est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il entremêle l'étude d'une fonction irrationnelle (comportant une racine carrée) et l'analyse d'une suite récurrente définie par cette même fonction. L'objectif final est d'étudier la convergence de la suite vers le point fixe de la fonction, illustré par un script Python de recherche de seuil.

Compétences et clés de réussite

1. Étude de fonction et manipulation algébrique

La première partie demande de démontrer la croissance d'une fonction simple $f(x) = \sqrt{x+1}$. Bien que la dérivation soit une méthode standard, l'élève doit être capable de justifier proprement la dérivabilité et le signe de la dérivée. Un point technique important réside dans la manipulation de l'expression $f(x)-x$. L'utilisation de la quantité conjuguée est ici indispensable pour lever la forme indéterminée ou simplifier l'expression afin de résoudre l'équation $f(x)=x$. Cette étape est cruciale car la solution $\ell$ (liée au nombre d'or) sera la limite de la suite étudiée ensuite.

2. Raisonnement par récurrence et suites bornées

La Partie B repose sur le lien entre la fonction $f$ et la suite $(u_n)$. La clé de la réussite est de maîtriser le raisonnement par récurrence pour prouver une double inégalité (ici $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$). Il faut savoir utiliser la croissance de la fonction $f$ démontrée en Partie A pour passer de l'étape $n$ à $n+1$ sans changer le sens des inégalités. Cette démonstration permet ensuite d'appliquer le théorème de convergence monotone : une suite décroissante et minorée converge.

3. Calcul de limites et théorème du point fixe

Une fois la convergence établie, il faut déterminer la valeur de la limite. L'élève doit invoquer la continuité de la fonction $f$ pour affirmer que la limite $\ell$ vérifie l'équation du point fixe $f(\ell) = \ell$. C'est ici que le travail algébrique effectué dans la première partie prend tout son sens.

4. Interprétation d'un algorithme Python

La dernière question teste la capacité à lire et interpréter un script Python. La fonction seuil utilise une boucle while tant que la distance entre le terme courant $u$ et la limite $\ell$ est supérieure à une certaine précision $10^{-n}$. L'élève doit comprendre que cet algorithme cherche le rang à partir duquel la suite est suffisamment proche de sa limite. Pour répondre aux questions, il est nécessaire de savoir simuler l'algorithme pas à pas (trace d'exécution) et d'interpréter la valeur de retour comme un indice de la suite.