Analyse de l'Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace et Paramètres

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du Sujet 1 du Baccalauréat Polynésie 2024, est un classique du genre qui mobilise l'ensemble des outils vectoriels enseignés en classe de Terminale Spécialité Mathématiques. Il s'appuie sur une configuration familière : un cube rapporté à un repère orthonormé, intégrant des points dont les coordonnées dépendent d'un paramètre réel m. Cette dimension paramétrique demande une certaine rigueur dans le calcul littéral.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux :

• Repérage dans l'espace : La première étape consiste à identifier les coordonnées des sommets du cube dans le repère donné. C'est une compétence de base indispensable pour la suite, car une erreur ici se répercutera sur tous les calculs.
• Vecteurs normaux et plans : L'exercice demande de démontrer qu'un vecteur est normal à un plan, puis d'en déduire une équation cartésienne de plan. Il faut savoir vérifier l'orthogonalité via le produit scalaire (le vecteur normal doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan).
• Nature d'un quadrilatère : L'étude de la figure CKEL (parallélogramme, rectangle, losange) repose sur la traduction vectorielle des propriétés géométriques :
  • Pour un parallélogramme : l'égalité vectorielle est la méthode la plus directe.
  • Pour un rectangle : l'utilisation du produit scalaire pour prouver la présence d'un angle droit est requise.
  • Pour un losange : il faut démontrer l'égalité des longueurs de deux côtés consécutifs.
• Calcul d'angles : La dernière partie invite à utiliser la définition géométrique du produit scalaire (faisant intervenir le cosinus) pour déterminer la mesure d'un angle en degrés.

Conseils méthodologiques

Face à la présence du paramètre m, ne vous laissez pas déstabiliser. Traitez m comme un nombre réel standard dans vos calculs de coordonnées et de produits scalaires. Soyez particulièrement vigilant lors des simplifications algébriques pour déterminer les conditions d'existence d'un rectangle ou d'un losange. Enfin, assurez-vous de bien distinguer les cas particuliers ($m=0$, $m=1/2$) du cas général.