Analyse de l'Exercice 2 : Probabilités et Suites (Asie 2024 - Sujet 2)

Cet exercice du Baccalauréat Mathématiques, session 2024 pour la zone Asie (Sujet 2), propose une situation classique de modélisation mathématique mêlant probabilités conditionnelles et suites numériques. Le contexte ludique, basé sur les chances de victoire d'une joueuse de jeu vidéo, sert de support pour évaluer la capacité des candidats à passer d'une modélisation probabiliste à une analyse analytique via des suites récurrentes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est indispensable de maîtriser plusieurs concepts clés du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Modélisation par arbre pondéré : La première partie de l'exercice exige de traduire les énoncés en langage probabiliste. Il faut savoir construire un arbre de probabilités à deux niveaux (pour les rangs $n$ et $n+1$) et identifier correctement les probabilités conditionnelles données dans le texte (par exemple, la probabilité de gagner sachant qu'on a gagné précédemment).
• Formule des probabilités totales : C'est l'outil pivot de l'exercice. Il permet d'établir la relation de récurrence liant $g_{n+1}$ à $g_n$. Une justification rigoureuse utilisant la partition de l'univers par les événements $G_n$ et $D_n$ est attendue.
• Suites arithmético-géométriques : L'exercice conduit à l'étude d'une suite de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$. La méthode classique consiste à introduire une suite auxiliaire $(v_n)$. Vous devez être capable de démontrer que cette suite auxiliaire est géométrique, ce qui implique de calculer le rapport $v_{n+1} / v_n$ et de montrer qu'il est constant.
• Expression explicite et limites : Une fois la nature de la suite auxiliaire prouvée, il faut savoir exprimer son terme général en fonction de $n$, puis en déduire celui de la suite initiale $(g_n)$. L'étude de la limite fait appel aux théorèmes sur les suites géométriques (comportement de $q^n$ quand $|q| < 1$). L'interprétation concrète de cette limite (probabilité de victoire à long terme) est une étape de synthèse importante.
• Inéquations et Logarithmes : La recherche du seuil à partir duquel la probabilité atteint une certaine valeur nécessite souvent la résolution d'inéquations faisant intervenir des puissances, résolubles grâce à la fonction logarithme népérien ($\\ln$).
• Algorithmique (Python) : La dernière question demande de compléter un script Python. Il s'agit d'un algorithme de seuil classique utilisant une boucle while. Il faut comprendre la condition d'arrêt et la mise à jour des variables au sein de la boucle pour simuler l'évolution de la suite.

En résumé, cet exercice est un excellent test de synthèse, demandant de la rigueur dans la formalisation des probabilités et une bonne maîtrise technique du calcul sur les suites.