Analyse de l'exercice : Suites d'intégrales et Algorithmique

L'exercice 4 du sujet 1 du Baccalauréat de Mathématiques 2024 pour la zone Amérique du Nord est un classique de l'analyse, mêlant calcul intégral et étude de suites numériques. Ce type de problème permet d'évaluer la capacité des candidats à manipuler des objets mathématiques dépendants d'un paramètre entier naturel $n$ et à synthétiser des connaissances issues de plusieurs chapitres du programme.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser plusieurs compétences fondamentales :

• Calcul d'intégrales simples : La première question demande le calcul d'une intégrale sans paramètre ($I_0$), nécessitant la connaissance des primitives usuelles des fonctions trigonométriques.
• Étude de la convergence d'une suite : L'élève doit savoir démontrer la positivité d'une intégrale (positivité de l'intégrant) et étudier le sens de variation d'une suite définie par une intégrale. Ici, l'étude du signe de la différence $I_{n+1} - I_n$ est la méthode attendue pour prouver la décroissance.
• Théorèmes de comparaison et limites : L'utilisation de majorations successives pour encadrer l'intégrale (Théorème des gendarmes) est cruciale pour déterminer la limite de la suite. Il faut savoir majorer l'exponentielle ou la fonction trigonométrique sous le signe intégral.
• Intégration par parties (IPP) : C'est le point technique central de l'exercice. Le candidat doit être capable de poser correctement $u(x)$ et $v'(x)$, de dériver et d'intégrer sans erreur de signe. L'originalité ici réside dans l'obtention d'un système liant $I_n$ et $J_n$ par deux IPP différentes.
• Algorithmique avec Python : La dernière partie requiert la compréhension d'une boucle while pour déterminer un seuil. Il faut savoir traduire une inéquation mathématique ($I_n < 0,1$) en condition d'arrêt ou de continuité dans une boucle.

Conseils méthodologiques

Une attention particulière doit être portée à la rédaction. Lors des comparaisons d'intégrales, n'oubliez pas de justifier que les bornes sont dans l'ordre croissant ($0 < \pi$). Pour l'intégration par parties, vérifiez systématiquement les signes, car l'alternance entre sinus et cosinus couplée à l'exponentielle négative est source d'erreurs fréquentes. Enfin, pour le script Python, rappelez-vous que la condition de la boucle while est la condition de continuation, c'est-à-dire le contraire de ce que l'on cherche à obtenir à la fin.