Analyse du sujet : Probabilités et Tests Médicaux

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques, issu de la session 2022 en Polynésie (Sujet 1), aborde un thème classique et concret : la fiabilité des tests de dépistage et la modélisation aléatoire via la loi binomiale. Il permet d'évaluer la maîtrise des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires discrètes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale :

• Modélisation par un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire l'énoncé (prévalence de la maladie, sensibilité et spécificité du test) en un arbre de probabilités. Il faut être vigilant sur la lecture des données : distinguer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif de la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité globale qu'un test soit positif, il est nécessaire d'appliquer la formule des probabilités totales en sommant les branches pertinentes de l'arbre.
• Inversion du conditionnement (Formule de Bayes) : Une question clé demande de calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. C'est une application classique où l'on utilise le résultat de la probabilité totale calculée précédemment au dénominateur.
• Justification de la Loi Binomiale : La seconde partie de l'exercice bascule sur une répétition d'expériences identiques et indépendantes (tirage avec remise). Il faut savoir identifier une épreuve de Bernoulli, préciser les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès), et justifier l'usage de la loi binomiale.
• Calculs sur la loi binomiale : Le candidat doit savoir utiliser sa calculatrice ou la formule du cours pour déterminer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès.
• Recherche de seuil (Inéquation) : La dernière question demande de déterminer la taille minimale d'un échantillon pour garantir une certaine probabilité (souvent liée à l'événement "au moins un succès"). Cela implique de résoudre une inéquation de la forme $1 - P(X=0) > 0,99$, nécessitant l'utilisation du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $n$ en exposant.

Conseils méthodologiques

Dans ce type d'exercice, la rigueur des notations est primordiale. Définissez clairement vos événements (par exemple $M$ pour Malade, $T$ pour Test positif) dès le début. Lors de la partie sur la loi binomiale, n'oubliez pas de vérifier les conditions d'application (indépendance, deux issues possibles). Enfin, pour la question du seuil, faites attention au sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif (le logarithme d'une probabilité étant négatif).