Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet 2 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2022 (Polynésie) aborde la modélisation de l'évolution d'une population animale à l'aide d'une suite récurrente de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Il s'agit d'un classique des épreuves, mêlant analyse de fonctions, raisonnement par récurrence et algorithmique.

1. Étude de la fonction associée

La première étape cruciale consiste à étudier la fonction $f$ sur l'intervalle donné $[0; 100]$. L'élève doit être capable de dériver une fonction polynôme du second degré (après développement) pour dresser son tableau de variations. Cette étude est fondamentale car la croissance de la fonction $f$ sur l'intervalle d'étude permet de justifier l'hérédité dans le raisonnement par récurrence qui suit.

2. Points fixes et équations

La résolution de l'équation $f(x) = x$ est une compétence clé. Ces solutions, appelées points fixes, sont les candidats potentiels pour la limite de la suite. Il faut savoir factoriser l'expression ou utiliser les méthodes classiques de résolution d'équations du second degré pour trouver les valeurs (ici $0$ et une autre valeur positive).

3. Le raisonnement par récurrence

C'est le cœur de l'exercice. Il est demandé de démontrer une double inégalité ainsi que la croissance de la suite simultanément : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100$. Pour réussir, il faut maîtriser la structure de la démonstration :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang 0.
• Hérédité : Utiliser l'hypothèse de récurrence et la croissance de la fonction $f$ démontrée précédemment pour « passer au rang $n+1$ ».
• Conclusion : Rappeler la propriété démontrée pour tout entier naturel $n$.

4. Convergence et limites

Une fois la monotonie (croissante) et le caractère borné (majorée par 100) établis, l'élève doit invoquer le théorème de convergence monotone pour affirmer que la suite converge. La détermination de la valeur exacte de la limite $\ell$ se fait en utilisant la continuité de $f$ et l'unicité de la limite, ramenant le problème à l'équation $f(\ell) = \ell$ résolue plus tôt. L'interprétation concrète dans le contexte de la colonie d'oiseaux est attendue.

5. Analyse d'algorithme Python

La dernière partie teste la compréhension informatique. Il s'agit d'analyser une boucle while (tant que). La clé est de comprendre le lien entre la condition d'arrêt et la limite de la suite. Si la suite tend vers la valeur seuil sans jamais la dépasser (convergence stricte), la condition de boucle reste toujours vraie, créant une boucle infinie. Savoir détecter ce type de comportement asymptotique est essentiel pour expliquer pourquoi une fonction Python ne renvoie aucune valeur.