Analyse globale de l'exercice

Cet exercice, issu de l'épreuve du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2023 (Métropole, Sujet 2), propose une étude classique de modélisation biologique. Il s'agit d'analyser l'évolution d'une population d'insectes à travers deux modèles mathématiques distincts. Le premier modèle repose sur une suite géométrique simple, tandis que le second fait appel à une suite récurrente définie par une fonction du second degré, introduisant des notions plus avancées de convergence et de points fixes.

Compétences et clés de réussite

Pour traiter cet exercice avec succès, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de Terminale :

• Modélisation par les suites : Savoir traduire un problème concret (évolution de population) en langage mathématique.
• Suites géométriques : Maîtriser la formule explicite, le sens de variation et le calcul de limites pour une suite de la forme \(u_n = u_0 \times q^n\).
• Résolution d'inéquations : Être capable de déterminer un rang \(n\) à partir duquel un seuil est dépassé, souvent en utilisant le logarithme népérien.
• Étude de fonctions : Analyser les variations d'une fonction polynôme (ici \(f(x) = 1,6x - 1,6x^2\)) sur un intervalle donné pour préparer le raisonnement par récurrence.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de la Partie B. Il faut savoir rédiger rigoureusement les trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) pour prouver une propriété du type \(0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 1/2\).
• Théorème de convergence monotone : Utiliser le fait qu'une suite croissante et majorée converge pour justifier l'existence d'une limite.
• Théorème du point fixe : Savoir que la limite \(\ell\) d'une suite convergente définie par \(v_{n+1} = f(v_n)\) (avec \(f\) continue) vérifie l'équation \(f(\ell) = \ell\).
• Algorithmique (Python) : Comprendre la structure d'une boucle while et interpréter le résultat renvoyé par une fonction de seuil.

Conseils méthodologiques

Dans la Partie A, attention aux unités ! L'énoncé exprime la population en millions (d'où \(u_0 = 0,1\) pour 100 000 insectes). Une erreur d'unité dès le départ faussera toutes les interprétations numériques.

Pour la Partie B, la question sur la fonction \(f\) est une étape préparatoire cruciale. La croissance de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ; 0,5]\) est l'argument clé qui permet de propager les inégalités lors de l'hérédité dans la récurrence. Lors de la recherche de la limite, n'oubliez pas d'écarter les solutions de l'équation \(f(x)=x\) qui ne seraient pas cohérentes avec les conditions initiales ou le sens de variation de la suite.

Enfin, pour la partie Python, il ne s'agit pas de programmer mais de lire le code. Analysez bien la condition d'arrêt de la boucle while v < a : tant que la population est inférieure au seuil a, on continue d'avancer dans le temps. La fonction renvoie donc le premier mois où la population atteint ou dépasse ce seuil.