Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Métropole, Sujet 1) est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il propose une modélisation d'un problème médical (cinétique d'un médicament) à travers deux approches distinctes : une approche continue via l'analyse de fonctions et une approche discrète via les suites numériques. Voici les points techniques essentiels pour réussir.

Partie A : Analyse fonctionnelle et exponentielle

Le premier protocole demande une maîtrise solide de la fonction exponentielle. Les candidats doivent être capables de :

• Calculer une dérivée composée : La fonction est de la forme $u(t) \cdot v(t)$ avec une exponentielle. Il faut appliquer rigoureusement la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ en n'oubliant pas la dérivée de l'exposant $(-0,5t+1)$.
• Étudier les variations : L'analyse du signe de la dérivée, qui dépend ici d'une expression affine (l'exponentielle étant toujours strictement positive), permet de dresser le tableau de variations complet.
• Appliquer le TVI : L'exercice requiert l'utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l'unicité des solutions d'équations du type $f(t) = k$. La calculatrice est ensuite nécessaire pour obtenir les valeurs approchées.
• Interpréter les résultats : Savoir convertir des résultats décimaux (heures) en unités de temps usuelles (heures et minutes) est indispensable pour répondre à la question finale de cette partie.

Partie B : Suites numériques et Récurrence

Le second protocole modélise la concentration médicamenteuse par une suite récurrente $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$. Les compétences clés incluent :

• Modélisation : Comprendre qu'une baisse de 30 % correspond à une multiplication par $0,7$ (coefficient multiplicateur).
• Raisonnement par récurrence : Il faut démontrer une double inégalité ($u_n \leqslant u_{n+1} < 6$). La structure de la preuve doit être claire : initialisation, hérédité (en utilisant la croissance de la fonction associée $x \mapsto 0,7x + 1,8$) et conclusion.
• Convergence : Utiliser le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée) pour justifier l'existence d'une limite, puis résoudre l'équation de point fixe $\ell = 0,7\ell + 1,8$ pour trouver cette limite.
• Suites arithmético-géométriques : L'introduction d'une suite auxiliaire $(v_n)$ permet de passer à une suite géométrique explicite. Il faut savoir exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour en déduire $u_n$.
• Inéquations et Logarithmes : La dernière question demande de trouver un seuil $n$. Cela peut se résoudre par tâtonnements à la calculatrice ou, plus rigoureusement, par la résolution d'une inéquation faisant intervenir le logarithme népérien.

En résumé, cet exercice mobilise des savoir-faire transversaux : calcul algébrique, raisonnement logique (récurrence) et capacité à modéliser une situation concrète.