Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (Asie 2022, Sujet 1)

Cet exercice du Baccalauréat 2022, zone Asie (Sujet 1), est un classique incontournable pour les révisions de la spécialité mathématiques. Il couvre une large partie du programme de probabilités, allant de la construction d'un arbre pondéré à l'étude d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale, tout en intégrant une réflexion sur l'indépendance des événements et la recherche de seuils.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels :

• Modélisation par un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire l'énoncé (tirages avec ou sans remise, choix de la roue) en un arbre de probabilités clair. La difficulté réside ici dans la distinction entre les règles du jeu selon la couleur de la case obtenue (blanche ou rouge).
• Calcul de probabilités conditionnelles et totales : Il est crucial de savoir appliquer la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité globale de gagner ($P(G)$). De plus, l'exercice demande d'inverser le conditionnement (calculer la probabilité d'avoir eu une case blanche sachant que l'on a gagné), ce qui requiert une application rigoureuse de la définition de la probabilité conditionnelle.
• Test d'indépendance : Une question classique consiste à vérifier si deux événements sont indépendants. La méthode est toujours la même : calculer $P(A \cap B)$ et comparer ce résultat au produit $P(A) \times P(B)$.
• Loi Binomiale : La répétition de l'expérience de manière identique et indépendante mène naturellement à une loi binomiale. Il faut savoir justifier ce modèle, identifier les paramètres $n$ et $p$, et utiliser la calculatrice ou les formules du cours pour déterminer des probabilités ponctuelles ($P(X=k)$) ou cumulées ($P(X \geqslant k)$).
• Inéquations et Logarithmes : La dernière partie de l'exercice fait appel à des compétences algébriques pour déterminer le nombre minimal d'essais $n$ nécessaire pour atteindre une certaine probabilité de succès. Cela implique souvent la résolution d'inéquations de type $1 - q^n \geqslant S$, nécessitant l'usage du logarithme népérien.

Ce sujet est un excellent entraînement car il synthétise les notions de probabilités discrètes tout en demandant de la rigueur dans la justification des modèles aléatoires utilisés.