Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet de Baccalauréat 2022 (Métropole Sujet 2) aborde la géométrie dans l'espace rapportée à un repère orthonormé. Il s'agit d'un problème complet qui nécessite de maîtriser à la fois les outils analytiques (calculs sur les coordonnées) et les raisonnements géométriques structurels (parallélisme, orthogonalité, volumes).

Représentations de droites et vecteurs

Le début de l'exercice mobilise les compétences fondamentales sur les droites. Les élèves doivent être capables de passer fluidement d'une définition vectorielle (point et vecteur directeur) à une représentation paramétrique. La vérification du non-parallélisme de deux droites se fait ici par l'étude de la colinéarité de leurs vecteurs directeurs. C'est une étape de vérification standard mais indispensable pour justifier la suite de la construction géométrique.

Orthogonalité et Perpendiculaire commune

L'exercice introduit une droite $\Delta$ perpendiculaire aux deux droites initiales. C'est une configuration classique de la « perpendiculaire commune » à deux droites non coplanaires. La réussite de cette partie repose sur l'utilisation du produit scalaire pour prouver l'orthogonalité des vecteurs. L'élève doit démontrer qu'un vecteur candidat est bien orthogonal aux vecteurs directeurs des deux droites données.

Équations de plans et Intersections

La transition vers l'étude du plan $\mathcal{P}$ est cruciale. Elle demande de savoir déterminer un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs non colinéaires. Une fois le vecteur normal identifié, l'écriture de l'équation cartésienne du plan (de la forme $ax + by + cz + d = 0$) permet de résoudre des problèmes d'intersection. Savoir trouver le point d'intersection entre une droite (donnée par son paramétrage) et un plan (donné par son équation cartésienne) est une compétence technique centrale de ce sujet, menant à la résolution d'une équation linéaire simple à une inconnue.

Distance et Volume du tétraèdre

La dernière partie synthétise les résultats précédents pour calculer une distance et un volume. Le calcul de la distance entre deux points est une application directe de la formule de la norme. La question sur le volume du tétraèdre est plus subtile : elle teste la capacité à modéliser la hauteur d'une pyramide comme la distance d'un point à un plan. La notion de droite parallèle à un plan est utilisée pour démontrer l'invariance du volume lorsque le sommet se déplace sur cette droite. C'est une excellente question pour discriminer les candidats capables de faire le lien entre le calcul algébrique et les propriétés géométriques spatiales.