Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025 (Centres Étrangers, Sujet 2) propose une modélisation classique de l'évolution d'un taux d'équipement (ici, des réfrigérateurs) à l'aide d'une fonction logistique faisant intervenir l'exponentielle. Il mobilise des connaissances transversales allant de l'analyse graphique au calcul intégral.

1. Lecture graphique et identification des paramètres

La première partie (Partie A) demande de faire le lien entre les données géométriques et les propriétés analytiques de la fonction. Les élèves doivent maîtriser :

• La lecture d'images sur une courbe représentative.
• L'interprétation du coefficient directeur d'une tangente (ici la droite AB) comme la valeur du nombre dérivé $f'(a)$ au point de contact.
• La résolution d'équations simples pour identifier les constantes $a$ et $b$ du modèle, en utilisant $f(0)$ et $f'(0)$.

2. Étude complète de la fonction

La Partie B est une étude de fonction standard sur $[0; +\infty[$. Les points clés incluent :

• Le calcul de limites en $+\infty$ pour mettre en évidence une asymptote horizontale (interprétée ici comme un taux de saturation du marché).
• Le calcul de la dérivée d'une fonction de type $\frac{1}{u}$ ou composée avec l'exponentielle, pour établir le sens de variation strictement croissant de la fonction.
• L'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour justifier l'existence d'une solution unique à l'équation $f(x) = k$, suivie d'une recherche numérique à la calculatrice.

3. Calcul intégral et valeur moyenne

La dernière partie (Partie C) permet de réviser le lien entre primitives et intégrales. La difficulté technique réside souvent dans la réécriture de l'expression de la fonction (multiplier numérateur et dénominateur par $e^{kt}$) pour faire apparaître une forme reconnaissable du type $\frac{u'}{u}$.

Une fois la primitive sous forme logarithmique identifiée ($\\ln(u)$), il s'agit d'appliquer la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle. C'est une application concrète de l'intégration pour obtenir une moyenne temporelle, concept fréquemment testé lors des épreuves du Bac.