Compétences et clés de réussite
Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré de la session de remplacement de septembre 2021 en Métropole, mobilise les connaissances fondamentales sur le repérage spatial, les vecteurs et les configurations géométriques dans un cube.
1. Maîtriser le repérage dans un cube
La première étape consiste à déterminer les coordonnées de points définis par des relations vectorielles. Dans un repère orthonormé associé à un cube (ici \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\)), il est essentiel de savoir traduire une égalité vectorielle du type \(\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{AD} + z\vec{AE}\) directement en coordonnées \((x; y; z)\). Une lecture graphique attentive couplée à une rigueur algébrique est nécessaire pour placer correctement les points I, J et K.
2. Vecteur normal et équation cartésienne
L'une des compétences clés évaluées est la capacité à démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. Pour ce faire, l'élève doit prouver, à l'aide du produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant la base du plan (par exemple \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\)). Une fois le vecteur normal identifié (ici \(\vec{AG}\)), l'obtention de l'équation cartésienne du plan se fait classiquement en utilisant la forme \(ax + by + cz + d = 0\) et en déterminant \(d\) grâce aux coordonnées d'un point appartenant au plan.
3. Intersection Droite-Plan
L'exercice demande de trouver l'intersection entre la droite (BC) et le plan (IJK). La méthode standard requiert deux étapes :
- Établir une représentation paramétrique de la droite (BC).
- Injecter les expressions de \(x\), \(y\) et \(z\) (en fonction du paramètre) dans l'équation cartésienne du plan trouvée précédemment.
La résolution de l'équation du premier degré permet de trouver la valeur du paramètre, et ainsi les coordonnées du point d'intersection L.
4. Construction et Coplanarité
La partie finale de l'exercice relie le calcul à la visualisation géométrique. Il s'agit de tracer la section du cube par le plan (IJK). Pour vérifier si quatre points sont coplanaires (I, J, L et M), la méthode la plus efficace est souvent analytique : il suffit de vérifier si les coordonnées du quatrième point vérifient l'équation cartésienne du plan formé par les trois autres.