Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 (Amérique du Nord) aborde de manière classique mais complète le thème des probabilités et des variables aléatoires. Il est structuré en deux parties indépendantes qui permettent de tester un large spectre de connaissances.

Partie A : Probabilités conditionnelles et Arbres

La première partie ancre le problème dans une situation concrète de réseaux informatiques. Pour réussir, le candidat doit maîtriser la modélisation par arbre pondéré. Les points clés incluent :

• La traduction des données de l'énoncé en probabilités simples ($P(A)$, $P(B)$...) et en probabilités conditionnelles ($P_A(S)$, etc.).
• Le calcul de la probabilité d'une intersection d'évènements (chemin dans l'arbre).
• L'utilisation de la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité d'un évènement global (ici, la stabilité de la connexion $S$).
• Le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (formule de Bayes) pour remonter à la cause sachant l'effet.

Partie B : Loi Binomiale et Fluctuation

La seconde partie bascule vers l'étude d'échantillons et la répétition d'expériences. Les compétences sollicitées sont :

• La justification d'une loi binomiale (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et l'identification précise de ses paramètres $n$ et $p$.
• Le calcul de probabilités cumulées ($P(X \leqslant k)$) à la calculatrice.
• La résolution d'inéquations faisant intervenir des puissances, souvent résolue par le passage au logarithme népérien, pour déterminer une taille d'échantillon minimale (seuil $n$). Il s'agit ici de l'analyse classique de l'évènement « au moins un succès » via son évènement contraire.
• L'étude de la fréquence empirique et l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ce point est particulièrement important car il fait appel à des notions de majoration de la dispersion pour prendre une décision statistique (rejet ou non d'une hypothèse de dysfonctionnement).

Cet exercice est un excellent entraînement car il combine les calculs de base indispensables et l'utilisation plus fine des inégalités de concentration.