Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025, Centres Étrangers Sujet 1, est un classique incontournable de la terminale spécialité mathématiques. Il aborde la modélisation de l'évolution d'une population (ici des bactéries) à l'aide d'équations différentielles. Pour réussir ce type de problème, il est crucial de maîtriser l'interaction entre l'aspect purement algébrique des équations différentielles et l'analyse fonctionnelle qui en découle.

1. Maîtrise des équations différentielles linéaires

La première partie de l'exercice (Partie A) demande une connaissance solide du cours sur les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants, de la forme y' + ay = b. Les compétences clés incluent :

• Vérifier qu'une fonction constante est solution particulière.
• Résoudre l'équation homogène associée y' + ay = 0, dont les solutions sont de la forme Ce^-at.
• Combiner ces résultats pour obtenir la solution générale. C'est une procédure mécanique qui rapporte des points facilement si la rédaction est rigoureuse.

2. Le changement de variable : Modèle Logistique

La Partie B introduit une équation non linéaire (équation logistique), souvent utilisée en biologie. La difficulté réside ici dans le changement de variable p(t) = 1/y(t). L'élève doit être capable de :

• Dériver une fonction inverse (la dérivée de 1/u est -u'/u²).
• Substituer correctement les termes dans l'équation différentielle pour se ramener à une forme linéaire connue (celle de la Partie A).
• Cette étape nécessite une grande attention aux signes et aux simplifications algébriques. Une erreur de calcul ici compromet la suite de l'exercice.

3. Étude de la fonction solution et interprétation

Une fois l'expression de la fonction p(t) établie, l'exercice bascule vers l'analyse fonctionnelle standard :

• Détermination des constantes : Utiliser la condition initiale (à t=0, p(0)=30) pour trouver la constante K. Cela implique de résoudre une équation simple.
• Calcul de limites : L'étude de la limite en l'infini est essentielle pour comprendre le comportement asymptotique de la population. Ici, on attend une interprétation concrète : la population se stabilise-t-elle ? Y a-t-il une capacité de charge maximale du milieu ?

4. Résolution d'inéquations avec exponentielles

La dernière question fait appel à la résolution d'une inéquation pour déterminer un temps t. Le candidat doit savoir isoler l'exponentielle, puis utiliser le logarithme népérien (ln) pour extraire la variable t. La gestion des inégalités (changement de sens si on divise par un nombre négatif) est un piège fréquent. Enfin, la conversion du résultat décimal en heures et minutes est une compétence pratique de base à ne pas négliger pour obtenir tous les points.

En résumé, cet exercice 4 du sujet Centres Étrangers 1 (2025) teste la capacité à modéliser un phénomène réel et à naviguer entre calcul différentiel et étude de fonctions.