Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat 2025 pour les Centres Étrangers (Sujet 1) est un classique de l'épreuve de Spécialité Mathématiques. Il couvre de manière transversale le thème des probabilités, allant des calculs élémentaires sur les arbres pondérés jusqu'aux inégalités de concentration, en passant par la loi binomiale. Il est divisé en trois parties indépendantes qui permettent d'évaluer la maîtrise progressive des concepts probabilistes.

Compétences et clés de réussite

Partie A : Probabilités conditionnelles et Arbres

Cette première partie demande de modéliser une situation concrète (contrôles en caisse) à l'aide d'un arbre pondéré. Les compétences clés sollicitées sont :

• La traduction des données de l'énoncé en probabilités conditionnelles (savoir distinguer $P(A)$ de $P_B(A)$).
• L'utilisation de la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un événement (ici, la détection d'une erreur) qui dépend de plusieurs chemins de l'arbre.
• Le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (Formule de Bayes), qui consiste à "remonter l'arbre" pour trouver la probabilité de la cause sachant la conséquence.

Partie B : Loi Binomiale et Seuil

La seconde partie bascule sur la répétition d'épreuves indépendantes, modélisée par une loi binomiale. Pour réussir cette section, le candidat doit :

• Justifier l'utilisation de la loi binomiale en citant les deux issues (succès/échec) et l'indépendance des tirages.
• Manipuler la formule de la loi binomiale ou utiliser la calculatrice pour déterminer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès.
• Calculer la probabilité de l'événement "au moins une erreur" en passant par l'événement contraire (aucune erreur), une technique standard pour gagner du temps.
• Résoudre une inéquation faisant intervenir des puissances (du type $1 - p^n > 0,99$) en utilisant le logarithme népérien pour déterminer la taille de l'échantillon nécessaire. C'est une question discriminante classique.

Partie C : Somme de variables et Bienaymé-Tchebychev

La dernière partie aborde des notions plus avancées du programme de Terminale : la somme de variables aléatoires et les inégalités de concentration.

• Il faut savoir utiliser la linéarité de l'espérance ($E(X+Y) = E(X) + E(Y)$) et la propriété de la variance pour des variables indépendantes ($V(X+Y) = V(X) + V(Y)$).
• Le point d'orgue de l'exercice est l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le candidat doit être capable d'identifier l'écart à la moyenne, de relier l'intervalle donné à la forme $|S - E(S)| < \delta$, et d'appliquer la formule pour minorer une probabilité.

En résumé, cet exercice 1 du sujet Centres Étrangers 2025 est un excellent entraînement pour réviser l'intégralité du chapitre probabilités, en particulier la transition entre les calculs discrets et les majorations théoriques.