Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat 2025, session Amérique du Nord (Sujet 2 Secours), est un problème classique et complet d'analyse mathématique. Il balaye une grande partie du programme de Terminale en combinant l'étude structurelle d'une fonction exponentielle et le calcul intégral. La structure en deux parties distinctes (Étude de fonction puis Calcul d'aire) permet d'évaluer la capacité des élèves à mobiliser des compétences variées, allant de la simple dérivation à l'intégration par parties.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise du calcul dérivé et de la convexité

La première partie de l'exercice exige une rigueur absolue dans le calcul des dérivées. L'expression $f(x) = x \text{e}^{-x} + 2x - 1$ nécessite l'utilisation de la formule de la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. La particularité ici réside dans l'étude de la dérivée seconde $f''$. Les candidats doivent comprendre le lien intrinsèque entre le signe de la dérivée seconde et la convexité de la fonction $f$. Savoir interpréter le changement de signe de $f''$ (point d'inflexion) est un attendu fondamental.

2. Variations et Théorème des Valeurs Intermédiaires

Une subtilité de cet exercice est l'étude des variations de la fonction dérivée $f'$ pour en déduire son signe, et par ricochet, les variations de la fonction $f$. Cette démarche en cascade demande de la méthode. Pour démontrer l'existence d'une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(\alpha)=0$, l'application rigoureuse du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (aussi appelé théorème de la bijection) est indispensable. La précision de l'encadrement à la calculatrice doit être justifiée.

3. Position relative et asymptotes

L'étude de la position relative entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-1$ repose sur l'étude du signe de la différence $f(x) - (2x-1)$. Ici, cette différence se simplifie en $x\text{e}^{-x}$, ce qui rend l'étude de signe immédiate mais cruciale pour la suite, notamment pour justifier la positivité de l'aire dans la partie B.

4. Intégration par parties et calcul d'aire

La partie B introduit le calcul intégral. La compétence clé est l'intégration par parties (IPP). Le choix des fonctions $u(x)$ et $v'(x)$ est déterminant pour simplifier l'intégrale $\int x \text{e}^{-x} \text{d}x$. Une mauvaise attribution bloquera le calcul. Enfin, l'exercice se conclut par une interprétation géométrique (calcul d'aire) et un calcul de limite de suite. Il faut savoir lier l'intégrale calculée à l'aire du domaine $D_n$ défini par la position relative étudiée précédemment, et étudier le comportement asymptotique de cette aire lorsque la borne $n$ tend vers l'infini.