Analyse de l'Exercice 4 : Modélisation Probabiliste d'un Jeu Télévisé

L'exercice 4 du sujet 2 des Centres Étrangers (Groupe 1) de la session du Bac 2023 propose une situation concrète de prise de décision basée sur des outils probabilistes. L'objectif est d'aider une société de production à valider la viabilité d'un jeu télévisé selon deux critères précis : la fréquence d'occurrence de la seconde phase du jeu et la durée moyenne de celle-ci. Ce problème est un excellent exemple de modélisation mathématique appliquée à l'économie et à la gestion des risques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de spécialité mathématiques de Terminale, notamment autour des variables aléatoires discrètes.

• Reconnaître une loi binomiale : La première étape cruciale consiste à identifier le schéma de Bernoulli. Ici, nous avons une répétition de quatre épreuves identiques et indépendantes (les quatre candidats), avec deux issues possibles (qualification ou non). Il faut savoir justifier l'utilisation de la loi binomiale en précisant les paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès).
• Calculer des probabilités cumulées : La première condition impose que la phase de compétition ait lieu, ce qui nécessite au moins deux candidats qualifiés. L'élève doit être capable de traduire cet énoncé par l'inégalité $P(X \geq 2)$. Une astuce classique pour simplifier le calcul est de passer par l'événement contraire : $1 - P(X < 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$.
• Définir une nouvelle variable aléatoire : L'énoncé introduit une subtilité en liant le nombre de candidats qualifiés (variable $X$) à la durée du jeu (variable que l'on peut noter $D$ ou $Y$). Il est essentiel de savoir dresser le tableau de la loi de probabilité de cette nouvelle variable en associant à chaque durée la probabilité correspondante issue de la loi binomiale calculée précédemment.
• Calculer et interpréter l'espérance mathématique : La seconde condition porte sur la durée moyenne. Cela fait directement référence à la notion d'espérance mathématique $E(D)$. Le candidat doit appliquer la formule $\sum p_i x_i$ avec rigueur. La conclusion de l'exercice demande de confronter les résultats numériques obtenus aux seuils fixés par la production (80% et 6 minutes) pour apporter une réponse binaire : le jeu est-il retenu ou non ?

Cet exercice permet de vérifier la capacité des élèves à structurer un raisonnement en plusieurs étapes : modélisation, calculs techniques et interprétation contextuelle des résultats.